Пропорции присутствуют в нашей повседневной жизни. Мы постоянно сталкиваемся с необходимостью соблюдать правильные соотношения - будь то при готовке пищи, разведении краски для волос или при строительстве зданий. Давайте разберемся, что же такое пропорции, из чего они состоят и где применяются.
Определение пропорции
Пропорция в математике - это равенство двух отношений.
Например, отношение числа 6 к числу 2 равно отношению числа 12 к числу 4. Это и есть пропорция:
6:2 = 12:4
Пропорцию можно записать так:
a:b = c:d
Где:
- a и d - крайние члены пропорции
- b и c - средние члены пропорции
| Крайние члены | a, d |
| Средние члены | b, c |
Для правильной пропорции выполняется так называемое свойство пропорции:
Произведение крайних членов равно произведению средних членов:
a · d = b · c
Это свойство позволяет проверять, верно ли составлена пропорция.
Составление пропорции
Чтобы составить пропорцию, нужно записать два равных отношения и поставить между ними знак равенства. Например, имеются две величины - количество яблок и количество груш:
- 10 яблок и 5 груш
- 2 яблока и 1 груша
Можно записать два отношения:
- 10 яблок к 5 грушам
- 2 яблока к 1 груше
Эти два отношения равны, поскольку в обоих случаях на одну грушу приходится два яблока.
Значит, их можно представить как пропорцию:
10:5 = 2:1
Чтобы проверить верность этой пропорции, перемножим крайние и средние члены:
10 · 1 = 2 · 5 = 10
Произведения крайних и средних членов равны, значит, пропорция составлена верно.
Давайте теперь более подробно разберем составные части пропорции и их основные свойства.
Члены пропорции
Любая пропорция состоит из четырех чисел - членов. Эти члены делятся на две группы:
- Крайние члены - числа, стоящие по краям (обозначаются буквами a и d)
- Средние члены - числа, находящиеся между крайними (обозначаются b и c)
Например, в пропорции 6:3=12:6 крайними членами являются числа 6 и 12, а средними - 3 и 6.
Что такое основное свойство пропорций
Любая правильно составленная пропорция обладает важным свойством - равенством произведений ее крайних и средних членов. Это и есть так называемое основное свойство пропорций.
a · d = b · c
Где:
- a · d - произведение крайних членов
- b · c - произведение средних членов
Это свойство позволяет проверить правильность составленной пропорции. Достаточно перемножить крайние и средние члены - если полученные произведения равны, значит пропорция верна.
Проверка пропорций
Итак, чтобы проверить, что пропорция составлена верно, нужно:
- Перемножить крайние члены пропорции (a и d)
- Перемножить средние члены пропорции (b и c)
- Сравнить полученные произведения
Если произведения равны - пропорция составлена верно.
Например, проверим пропорцию 10:5=2:1:
- Произведение крайних членов: 10·1 = 10
- Произведение средних членов: 5·2 = 10
Произведения равны, значит пропорция верна.
Применение пропорций в быту
Пропорции часто используются в повседневной жизни, особенно на кухне при приготовлении различных блюд и напитков. Рассмотрим несколько примеров.
Рецепты
В кулинарных рецептах всегда указывается соотношение ингредиентов. Например, тесто для пирога готовится из муки, сахара, масла и яиц в определенной пропорции.
Мука : сахар : масло : яйца = 2 части : 1 часть : 1 часть : 1 шт
Это означает, что на 2 части муки берется 1 часть каждого из остальных ингредиентов. Чтобы приготовить больше теста, достаточно увеличить количество муки в два раза, а остальные ингредиенты - тоже в два раза. Соотношение между ними при этом сохранится.
Разбавление краски, лака, клея
Часто бывает необходимо разбавить густую жидкость (краску, лак, клей и т.д.), чтобы получить нужную консистенцию. Оптимальную пропорцию разбавителя подбирают опытным путем.
Например, клей ПВА разбавляют водой в соотношении 1:1 или 1:2.
Это означает, что на 1 часть клея берут 1 или 2 части воды соответственно. Зная исходную концентрацию и нужную консистенцию, можно легко посчитать сколько разбавителя потребуется.
Пропорциональность величин при решении задач
Понятие пропорциональности часто используется при решении различных задач, в которых есть взаимосвязанные величины. Рассмотрим это на примерах.
Задачи "цена-количество-стоимость"
Задачи на движение
Еще один тип задач, где применяется понятие пропорциональности - это задачи на движение. В них рассматриваются такие величины как расстояние, скорость и время. Между ними существует следующая зависимость:
Расстояние пропорционально скорости и времени
То есть, если скорость увеличивается в 2 раза, а время остается тем же, расстояние тоже увеличится в 2 раза. И наоборот, если при неизменной скорости время в пути уменьшается в 2 раза - расстояние тоже сократится вдвое.
Задачи на совместную работу
В задачах на совместную работу также применяется понятие пропорциональности. Например, если объем работы одинаковый, а производительность работников разная, то время выполнения этой работы будет обратно пропорционально их производительности.
То есть если один работник выполняет работу в 2 раза быстрее другого, то вдвоем они справятся за время, в 2 раза меньшее, чем один второй работник.
Прямая и обратная пропорциональность
В зависимости от характера связи между величинами, различают два вида пропорциональности:
- Прямая пропорциональность - когда с увеличением одной величины другая тоже увеличивается
- Обратная пропорциональность - когда с увеличением одной величины другая уменьшается
