Параллелограмм - одна из самых распространенных геометрических фигур. Его диагонали играют важную роль при решении множества задач. Однако не все знают, как именно найти длину этих отрезков. В этой статье мы подробно разберем формулу диагонали параллелограмма и способы ее вычисления на практике. Узнаете, как быстро и просто получить нужный результат.
Основные свойства параллелограмма
Для начала давайте разберемся, что представляет собой параллелограмм и какие у него есть свойства.
Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Основные признаки параллелограмма:
- Противоположные стороны параллельны
- Противоположные стороны равной длины
- Диагонали взаимно перпендикулярны (пересекаются под прямым углом)
Из признаков параллелограмма вытекают его основные свойства:
- Противоположные стороны параллельны и равны
- Диагонали взаимно перпендикулярны
- Сумма смежных (прилежащих) углов равна 180°
Параллелограмм тесно связан с такими геометрическими фигурами как прямоугольник, квадрат и ромб. Это частные случаи параллелограмма, обладающие дополнительными свойствами.
Рассмотрим обозначения элементов параллелограмма на чертеже:
| AB | Первая сторона |
| BC | Вторая сторона |
| CD | Третья сторона |
| DA | Четвертая сторона |
| AC | Первая диагональ |
| BD | Вторая диагональ |
| α | Угол между сторонами AB и BC |
Диагонали параллелограмма: основные сведения
Итак, что представляют собой диагонали параллелограмма?
Диагональю параллелограмма называется отрезок, соединяющий две его противоположные вершины.
Диагонали параллелограмма: основные сведения
Диагональю параллелограмма называется отрезок, соединяющий две его противоположные вершины.
Основные свойства диагоналей:
- Диагонали пересекаются под прямым углом
- Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника
На чертеже диагонали параллелограмма обычно обозначаются буквами AC и BD, где буквы соответствуют вершинам, которые соединяет диагональ.
Формула диагонали параллелограмма через стороны
Для вычисления длины диагонали часто используется следующая формула, выведенная из теоремы косинусов:
где:
- d - длина диагонали
- a, b - длины смежных сторон параллелограмма
- α - угол между сторонами a и b
Вывод формулы диагонали параллелограмма
Для вывода формулы диагонали параллелограмма используется теорема косинусов применительно к треугольнику, образованному диагональю и двумя сторонами параллелограмма.
Теорема косинусов гласит:
В треугольнике квадрат любой стороны равен сумме квадратов двух других сторон, уменьшенной на двойное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Эту теорему можно записать в виде формулы:
где c - сторона треугольника, противолежащая углу C, a и b - две другие стороны, α - угол между a и b.
Доказательство формулы диагонали параллелограмма
Итак, применим теорему косинусов для доказательства формулы диагонали параллелограмма.
- Берем произвольную диагональ BD
- Она делит параллелограмм на два треугольника ABD и BCD
- В каждом из этих треугольников применяем теорему косинусов для вычисления диагонали BD.
Поскольку треугольники ABD и BCD равны, получаем искомую формулу диагонали параллелограмма.
Применение формулы на практике
Рассмотрим несколько примеров, как использовать формулу диагонали параллелограмма для решения задач.
Пример 1
Дан параллелограмм со сторонами a = 5 см и b = 7 см. Найдем длину диагонали BD, если угол α между сторонами равен 40°.
Решение:
- Подставляем данные в формулу диагонали параллелограмма:
- Вычисляем: BD = 8 см
Ответ: 8 см
Пример 2
В параллелограмме ABCD диагональ BD = 10 см, сторона BC = 8 см. Найти сторону АВ, если sinα = 0,6, где α - угол между сторонами АВ и ВС.
Решение:
- Из условия sinα = 0,6 находим α = 37°
- Подставляем значения в формулу:
- Вычисляем: АВ = 6 см
Ответ: 6 см
Задачи на построение
Зная длины сторон и диагоналей параллелограмма, можно выполнить его построение.
- Строим одну диагональ заданной длины
- Отмечаем точки пересечения со второй диагональю
- Из этих точек опускаем перпендикуляры на первую диагональ, равные сторонам
