Колебания и волны - фундаментальные явления природы, с которыми мы сталкиваемся повсеместно. Звук музыки, ход часов, движение маятника - все это примеры колебательных процессов. В данной статье речь пойдет о таком важном параметре колебаний, как частота, ее определении и способах вычисления для различных колебательных систем.
Общее определение частоты колебаний
Частота колебаний - это одна из основных характеристик любого колебательного процесса. Она показывает, сколько полных циклов колебаний происходит в единицу времени. Чем выше частота - тем быстрее изменяется состояние колеблющейся системы.
Математически частота колебаний определяется через период колебаний T и число колебаний N за интервал времени Δt:
Также частоту можно выразить через циклическую частоту ω0:
Единицей измерения частоты в СИ является Герц (Гц) - число колебаний в секунду. Иногда используют единицы с−1 или рад/с для циклической частоты.
В природе и технике встречаются колебания с частотами от 10−16 Гц (вращение Галактики) до 1035 Гц (космическое излучение).
Методы измерения частоты
- Частотомеры (до 100 ГГц)
- Гетеродинный метод
- Метод биений
- Стробоскоп
Формула частоты свободных колебаний пружинного маятника
Рассмотрим пружинный маятник - систему, состоящую из груза массой m, подвешенного на упругой пружине жесткостью k, как показано на рисунке.
Если сместить груз из положения равновесия и отпустить, то под действием упругой силы Fs пружины он будет совершать гармонические колебания. В соответствии с законом Гука:
Где x - смещение груза от положения равновесия, а k - коэффициент жесткости пружины. Подставляя выражение для упругой силы во второй закон Ньютона, получаем дифференциальное уравнение движения груза:
Решением этого уравнения будет гармоническая функция вида:
Где А - амплитуда колебаний, φ - начальная фаза. Важнейшей характеристикой является циклическая частота ω0, связанная с частотой колебаний формулой:
Для пружинного маятника, как видно из решения дифференциального уравнения, циклическая частота выражается через параметры системы следующим образом:
Отсюда частота свободных колебаний пружинного маятника будет равна:
Из этой формулы видно, что частота прямо пропорциональна квадратному корню из жесткости пружины k и обратно пропорциональна квадратному корню из массы груза m.
То есть, чем больше жесткость и меньше масса - тем выше собственная частота колебаний системы. Это легко объяснить физически: жесткая пружина быстрее возвращает груз в положение равновесия, а меньшая масса легче приводится в движение.
Пример расчета частоты
Для пружинного маятника с пружиной жесткостью k = 100 Н/м и грузом массой m = 0.5 кг частота собственных колебаний составит:
Полученное значение частоты ν = 10 с−1 = 10 Гц означает, что за одну секунду груз совершает 10 полных колебаний туда-обратно.
Ограничения применимости формулы
Полученная формула справедлива только при выполнении следующих условий:
- Колебания груза носят малую амплитуду
- Масса пружины мала по сравнению с массой груза
- Силами трения пренебрегаем
При большой амплитуде колебаний сила упругости пружины отклоняется от линейной зависимости по закону Гука, и формула частоты колебаний теряет точность.
Зависимость частоты от амплитуды
Для учета нелинейности пружины и влияния амплитуды A на частоту ν можно ввести поправочный коэффициент k(A) в формулу:
Где k(0) = k - линейный коэффициент жесткости пружины. При увеличении амплитуды коэффициент k(A) уменьшается, что приводит к нелинейному снижению резонансной частоты системы.
Учет сил трения
Еще одной поправкой к исходной формуле является введение члена, учитывающего силы трения Фтр, действующие на груз:
Силы трения приводят к затуханию амплитуды со временем и небольшому снижению частоты.
Резонансные явления
Особый интерес представляет поведение пружинного маятника при внешнем периодическом воздействии. Если частота внешней вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы, наступает явление резонанса - резкого возрастания амплитуды колебаний.
В точке резонанса даже слабые внешние воздействия могут привести к большим колебаниям груза и разрушению системы. Поэтому при проектировании реальных устройств важно избегать режимов, близких к резонансному.
Применение пружинных маятников
Несмотря на уязвимость в резонансе, пружинные маятники широко используются в технике благодаря простоте и надежности.
Классическим примером являются механические часы. Колебания маятника задают характерный тиктак ритм их работы. В зависимости от длины маятника часы могут иметь суточную погрешность от долей секунды до нескольких минут.
Аналогии с другими системами
Характер колебаний пружинного маятника математически подобен многим другим гармоническим системам в природе. Например, колебания заряженного электрона в атоме также описываются похожим уравнением с собственной резонансной частотой.
Это позволяет переносить знания о свойствах маятника на другие области физики при решении соответствующих задач.
Другие типы механических маятников
Помимо пружинного, существуют и другие разновидности механических маятников - математический, физический, торсионный.
Математический маятник
Это идеализированная система - точечная масса m, подвешенная на невесомом стержне длиной l. Формула для частоты его свободных колебаний имеет вид:
Где g - ускорение свободного падения. В отличие от пружинного маятника, здесь частота зависит только от длины подвеса и силы тяжести, но не от массы.
Физический маятник
Реальное тело, совершающее колебания на подвесе. Для него справедлива формула:
Где J - момент инерции тела относительно оси подвеса. В отличие от математического, здесь на частоту влияет распределение массы тела.
Торсионный маятник
Состоит из груза, подвешенного на упругом стержне, совершающем крутильные колебания. Используется в часах, гироскопах. Частота определяется аналогичным уравнением с заменой жесткости на крутильную.
