Параметрически заданные функции широко используются в математическом анализе для моделирования различных процессов и явлений. Умение находить производную такой функции крайне важно для дальнейшего изучения ее свойств и применения на практике.
Основные понятия и определения
Параметрически заданная функция определяется не одним, а сразу двумя уравнениями, содержащими некоторый параметр t:
- x = f(t)
- y = g(t)
Здесь x и y - искомые функции, а t - их параметр. Производная такой функции вычисляется по формуле:
y' = (y'/x')*x'
где:
- y' - производная функции y = f(t) по параметру t
- x' - производная функции x = g(t) по параметру t
Рассмотрим пример параметрического задания функции:
x = 3t2 + 1
y = t3
Здесь x зависит от параметра t по квадратичному закону, а y - по кубическому. Чтобы найти производную этой функции по методу, описанному выше, нужно вычислить производные x' и y' по параметру t. После подстановки в формулу мы получим искомую производную всей функции.
Пошаговый алгоритм нахождения производной
Для нахождения производной параметрически заданной функции нужно придерживаться следующего алгоритма:
- Записать параметрическое задание функции в виде двух уравнений с параметром t
- Найти производную y' функции y = f(t) по параметру t
- Найти производную x' функции x = g(t) по параметру t
- Подставить полученные производные в формулу для производной параметрической функции
- Упростить конечное выражение, если это возможно
Рассмотрим подробное применение этого алгоритма на конкретном примере:
x = cos(3t)
y = 5 + ln(tg(2t))
1) Записываем задание функции в виде двух уравнений с параметром t.
2) Находим производную функции y по параметру t, используя известные правила дифференцирования:
y' = (1/tg(2t))*2
3) Аналогично находим производную функции x по параметру t:
x' = -3*sin(3t)
4) Подставляем найденные производные в формулу:
y' = (y'/x')*x' = (2/(tg(2t) * -3*sin(3t)) * -3*sin(3t) = 2/tg(2t)
5) В данном случае дальнейшее упрощение выражения невозможно. Ответ:
2/tg(2t)
Как видно из примера, основная сложность при нахождении производной параметрически заданной функции заключается в правильном применении известных правил дифференцирования. Поэтому очень важно хорошо знать эти правила и постоянно тренировать навык нахождения производных.
Нахождение производных высших порядков
Помимо первой производной, для параметрически заданной функции можно также найти производные более высоких порядков, в частности, вторую и третью производные. Это необходимо для полного исследования функции и построения ее графика.
Вычисление второй производной
Для нахождения второй производной параметрически заданной функции используется следующая формула:
y'' = (y''/x' - (y'*x'')/x'^2)*x'
Здесь:
- y'' - вторая производная функции y = f(t) по параметру t
- x'' - вторая производная функции x = g(t) по параметру t
Рассмотрим пример вычисления второй производной для функции:
x = 4t + t2
y = 3t3 - t
Сначала находим первые производные:
x' = 4 + 2t
y' = 9t2 - 1
Затем вычисляем вторые производные:
x'' = 2
y'' = 18t
Подставляем все значения в формулу для второй производной параметрической функции:
y'' = (18t) / (4 + 2t) - (9t2 - 1)*2 / (4 + 2t)2
Выполняем необходимые преобразования и получаем ответ:
3t/(2t + 4)
Производная третьего порядка
Для третьей производной формула имеет вид:
y''' = (y'''/x' - 3(y''*x'')/x'^2 + 2(y'*x''')/x'^3)*x'
Процесс вычисления аналогичен второй производной, только длиннее. Сначала находим производные всех порядков, затем подставляем в формулу и выполняем преобразования.
Особенности вычисления
При нахождении производных параметрически заданной функции высших порядков следует:
- Последовательно находить все необходимые производные функций x и y по параметру t
- Следить за порядком действий в формуле
- Упрощать промежуточные выражения
Это позволит получить правильный конечный результат с минимальными затратами времени.
Применение на практике
Производные высших порядков параметрически заданной функции применяются для:
- Исследования функции на экстремумы
- Определения точек перегиба
- Нахождения асимптот
- Построения графика функции
Рассмотрим конкретный пример исследования функции с помощью второй производной:
x = 3t + 2
y = t3 - 4t
Нахождение второй производной
Сначала находим:
y' = 3t2 - 4
y'' = 6t
Теперь применяем формулу для второй производной параметрической функции:
y'' = (6t) / 3 = 2t
Исследование функции
При t = 0 вторая производная равна 0. Это точка перегиба.
При t > 0 вторая производная положительна, значит функция выпуклая вверх.
При t < 0 вторая производная отрицательна, функция выпуклая вниз.
Так выявлены все особенности функции с помощью производной второго порядка.
Построение графика
Зная особые точки и характер изменения функции, можно построить ее приближенный график без вычисления координат точек.
