Теорема о двух милиционерах - это любопытное утверждение из области математического анализа. Давайте разберемся в ее смысле, происхождении названия и практическом применении.
Суть теоремы о двух милиционерах
Формально теорема формулируется так: если функция f(x) зажата между двумя другими функциями φ(x) и ψ(x), имеющими одинаковый предел A при x, стремящемся к a, то и функция f(x) имеет тот же предел:
Аналогично для последовательностей {x(n)}: если {x(n)} зажата между {φ(n)} и {ψ(n)}, сходящимися к одному пределу, то и {x(n)} имеет тот же предел.
Иными словами, если "два милиционера" ведут задержанного к одному "участку", то и тот вынужден будет туда прийти. Отсюда и название теоремы, но об этом ниже.
Происхождение названия теоремы
Название "теорема о двух милиционерах" пришло из аналогии процесса схождения функций к пределу с ситуацией, когда два сотрудника милиции ведут подозреваемого. Куда бы ни направлялись милиционеры, задержанный вынужден следовать между ними к тому же месту.
Теорема о двух милиционерах: если два милиционера {φ(n)} и {ψ(n)} идут в участок с пределом a, то оказавшийся между ними подозреваемый {x(n)}, также придет в этот участок.
В различных странах за этой теоремой закрепились и другие названия, отражающие ту же аналогию:
- теорема о двух полицейских
- теорема о двух жандармах
- теорема о двух стражах
В России же прижилось самое красочное наименование с участием милиционеров.
Доказательство теоремы о двух милиционерах
Рассмотрим доказательство для случая сходящихся функций. Пусть выполняются условия теоремы:
- φ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x) при всех значениях аргумента x из некоторой окрестности точки a
- Функции φ(x) и ψ(x) имеют одинаковый предел A при x, стремящемся к a
Нужно доказать, что тогда и f(x) имеет тот же предел A. Доказательство проводится методом от противного с использованием определения предела функции...
Нужно доказать, что тогда и f(x) имеет тот же предел A. Доказательство проводится методом от противного с использованием определения предела функции.
Предположим, что f(x) имеет предел B ≠ A при x → a. Тогда по определению предела для любого ε > 0 найдется такое δ, что если 0 < |x - a| < δ, то |f(x) - B| < ε.
Противоречие с неравенством для φ(x)
Но по условию теоремы φ(x) ≤ f(x), а предел φ(x) равен A при x → a. Значит, для того же ε найдется окрестность δ1 точки a, такая, что если 0 < |x - a| < δ1, то |φ(x) - A| < ε.
Рассмотрим δ2 = min(δ, δ1). Тогда при 0 < |x - a| < δ2 будут выполняться оба неравенства:
- |f(x) - B| < ε
- |φ(x) - A| < ε
Но тогда |B - A| ≤ |B - f(x)| + |f(x) - φ(x)| + |φ(x) - A| < 3ε. Поскольку ε можно взять сколь угодно малым, получаем, что B = A. Это противоречит предположению, что B ≠ A.
Аналогичное противоречие для ψ(x)
Проводя аналогичные рассуждения для функции ψ(x) ≥ f(x), приходим к выводу, что предположение о том, что предел f(x) при x → a равен некоторому C ≠ A, также приводит к противоречию.
Итак, методом от противного мы доказали, что f(x) имеет тот же предел A, что и функции φ(x), ψ(x) при x → a. Этим завершается доказательство теоремы о двух милиционерах.
Пример использования теоремы
Рассмотрим пример вычисления предела с помощью теоремы о двух милиционерах:
Здесь функция f(x) = (sin x) / x зажата между функциями φ(x) = 1 и ψ(x) = -1 при всех x ≠ 0. Поскольку lim φ(x) = 1 и lim ψ(x) = -1 при x → 0, то по теореме lim (sin x) / x = 0 при x → 0.
Теорема двух милиционерах примеры решения
Рассмотрим пример решения задачи на вычисление пределов последовательности с использованием теоремы о двух милиционерах:
Здесь последовательность {x(n)} зажата между последовательностями {φ(n)} и {ψ(n)} с пределами 2 и 4 соответственно. По теореме предел {x(n)} также равен 3.
Обобщение теоремы на n милиционеров
Существует обобщение теоремы на случай любого числа n "милиционеров". Пусть функции φ1(x) ≤ φ2(x) ≤ ... ≤ φn(x) имеют один предел L при x → a. Если φ1(x) ≤ f(x) ≤ φn(x) при достаточно больших значениях x, то и функция f(x) имеет предел L при x → a.
Связь теоремы с другими утверждениями
Теорема о двух милиционерах тесно связана с рядом утверждений математического анализа. Например, из нее следует теорема о пределе монотонной ограниченной функции. А применяя теорему к последовательности ее частичных сумм, можно получить признак сходимости числового ряда.
Теорема о пределе монотонной ограниченной функции
Если функция f(x) монотонна (возрастает или убывает) на промежутке (a; +∞) и ограничена, то она имеет конечный предел L при x → +∞. Этот факт можно доказать, применив теорему о двух милиционерах к функциям φ(x) = inf f(x) и ψ(x) = sup f(x).
Признак сходимости ряда по теореме
Пусть дан числовой ряд ∑a_n. Рассмотрим функцию S(n) - сумму первых n слагаемых этого ряда. Если найдутся числа A и B такие, что A ≤ S(n) ≤ B при всех n, и предел S(n) существует, то по теореме о двух милиционерах ряд сходится к тому же пределу.
Связь с теоремой Вейерштрасса
Теорема Вейерштрасса утверждает, что всякая ограниченная последовательность действительных чисел имеет сходящуюся подпоследовательность. Этот факт можно доказать с помощью теоремы о двух милиционерах.
Применение теоремы в математическом анализе
Теорема о двух милиционерах широко используется в курсе математического анализа для доказательства различных утверждений. Она позволяет упростить рассуждения при исследовании пределов функций и рядов.
Аналоги теоремы в других разделах математики
Похожие утверждения справедливы и за пределами анализа. Например, теорема о монотонной последовательности ограниченных множеств в топологии. Или результаты о пределах решений дифференциальных неравенств.
Заключение
Теорема о двух милиционерах - интересное утверждение математического анализа о существовании предела у функции, зажатой между двумя другими функциями. В статье разбирается смысл теоремы, история ее открытия, происхождение красочного названия, приводится доказательство, примеры применения на практике. Обсуждается связь теоремы с другими фактами математического анализа и аналогичные результаты в смежных областях математики.
