Функции являются важнейшим математическим инструментом, находящим многочисленные применения в науке, технике и повседневной жизни. Умение находить наименьшие и наибольшие значения функций, или как говорят математики, определять экстремумы функций, позволяет решать задачи оптимизации.
Основные понятия
Напомним несколько базовых определений из области математического анализа:
- Функция - это соответствие, которое каждому элементу заданного множества X (области определения функции) ставит в соответствие элемент множества Y.
- График функции - геометрическое изображение функции в координатной плоскости.
Теперь давайте договоримся о терминологии. Наименьшим значением функции на заданном множестве называют наинизшее значение, которое принимает функция на этом множестве. Аналогично, наибольшее значение функции на множестве - это наивысшее значение функции на этом множестве.
На практике чаще всего приходится находить наименьшее и наибольшее значение функции на некотором отрезке. Для непрерывной функции y=f(x) на отрезке [a,b] справедлива.
Теорема Вейерштрасса: на отрезке функция обязательно принимает свое наименьшее значение и свое наибольшее значение.
Это важный результат, позволяющий решать многие прикладные задачи.
Нахождение экстремумов на отрезке
Основной инструмент для нахождения экстремумов (то есть наибольших и наименьших значений) функции на отрезке - это производная функции. Напомним, что производная функции в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Вычисляя производную функции и приравнивая ее к нулю, мы находим стационарные точки , в которых касательная к графику параллельна оси абсцисс.
Согласно теореме Ферма, в этих стационарных точках функция принимает локальные экстремумы, то есть либо максимум, либо минимум.
Алгоритм нахождения экстремумов функции на отрезке
- Найти производную функции и приравнять ее к нулю, чтобы определить стационарные точки.
- Выделить из стационарных точек те, которые лежат на данном отрезке.
- Вычислить значение функции в стационарных точках отрезка.
- Вычислить значение функции на концах отрезка.
- Сравнить все полученные значения функции и выбрать минимальное (оно и есть наименьшее значение) и максимальное (наибольшее значение).
Рассмотрим пример конкретной задачи:
Пример. Найти наименьшее и наибольшее значение функции y = x3 - 5x на отрезке [-2, 3].
Решение:
- Производная функции: y' = 3x2 - 5
- Приравняем производную к нулю: 3x2 - 5 = 0. Корень уравнения: x = 1. Это единственная стационарная точка функции.
- Стационарная точка x = 1 лежит на заданном отрезке [-2, 3].
- Вычисляем значение функции в стационарной точке: f(1) = 1 - 5 = -4
- Значения функции на концах отрезка: f(-2) = -8, f(3) = 24
- Из полученных значений выбираем минимальное f(min) = -8 и максимальное f(max)=24.
Ответ: наименьшее значение функции на отрезке [-2, 3] равно -8, а наибольшее значение равно 24.
Как видно из решения, основные этапы таковы: 1) найти стационарные точки; 2) проверить, лежат ли они на отрезке; 3) сравнить значения функции в стационарных точках и на концах отрезка.
Особенности открытых и бесконечных интервалов
Если требуется найти экстремум не на отрезке, а на интервале, то задача усложняется. Рассмотрим некоторые варианты.
Бесконечный интервал
На бесконечном интервале функция может не иметь ни максимума, ни минимума. Например, функция y = x на интервале (-∞,+∞) не ограничена ни сверху, ни снизу.
Чтобы понять поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности, нужно найти предел функции на +/- бесконечности. Это позволит оценить верхнюю и нижнюю границы значений функции.
Открытый интервал
На открытом интервале, не содержащем своих концов, ситуация еще сложнее. Здесь также важно анализировать поведение функции при стремлении аргумента к границам интервала, то есть находить односторонние пределы.
Например, рассмотрим функцию y = 1/x на интервале (0, 1). При x, стремящемся к нулю слева, функция стремится к +∞. А при приближении x к 1 слева, функция остается конечной. Таким образом, на интервале (0, 1) у функции 1/x нет ни максимума, ни минимума.
Применение односторонних пределов
Для того, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на открытом или бесконечном интервале, часто применяют вычисление односторонних пределов. Рассмотрим последовательность действий на конкретном примере.
Пример. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = (x-1) / (x+1) на интервале (-∞, 1).
- Находим односторонние пределы:
- lim
- f(x) = 1 lim
- f(x) = -∞
- Видим, что при x, стремящемся к -∞, функция стремится к конечному пределу, значит снизу она ограничена.
- А в левом конце интервала функция неограниченно стремится к -∞.
- Таким образом, на интервале (-∞, 1) у функции нет максимума, а есть только минимум, равный 1.
Как видно из решения, анализ односторонних пределов позволяет оценить поведение функции на бесконечности и у границ интервала.
Графический метод
Найти наименьшее и наибольшее значения функции можно также с помощью ее графика. Для этого строят график функции и находят наибольшее и наименьшее значения функции на заданном интервале по графику.
Алгоритм графического метода:
- Построить график функции y = f(x)
- Отметить на оси абсцисс заданный интервал
- Найти точки графика с минимальной и максимальной ординатой на данном интервале
- Считать значения ординат этих точек - они и будут искомыми экстремумами
Достоинством графического метода является наглядность и универсальность. Однако он не дает high точный численный результат, поэтому чаще используется для проверки решений, найденных аналитически.
Метод интервалов
Еще один подход к нахождению экстремумов - это метод интервалов. Суть его заключается в следующем:
- Выбирается некоторый интервал, содержащий искомый экстремум
- Интервал делится пополам и вычисляется значение функции в середине
- В той половине, где значение функции меньше (или больше), выбирается новый интервал
- Процесс повторяется, строя последовательность вложенных интервалов
- Предел интервалов содержит искомый экстремум
Применяя метод интервалов, можно с заданной точностью определить экстремум, что очень важно для ряда численных методов.
Использование производных высших порядков
Помимо первой производной, для исследования функции можно использовать производные высших порядков. Например, вторая производная характеризует выпуклость функции. Если f''(x) > 0, то функция выпуклая вверх, если f''(x) < 0 - выпуклая вниз.
Это свойство используется при нахождении экстремумов. Если в стационарной точке f'(x) = 0, а f''(x) > 0 - то это точка минимума функции. А если f''(x) < 0 - то в стационарной точке достигается максимум функции.
Задачи оптимизации
Найдите наименьшее наибольшее значение заданной функции часто требуется при решении прикладных задач оптимизации - то есть максимизации или минимизации некоторого функционала. Это могут быть задачи рационального использования ресурсов, минимизации финансовых рисков, нахождения оптимальной производственной стратегии и многие другие.
