Абсолютная погрешность - один из важнейших показателей точности измерений. От того, насколько мы можем доверять полученным данным, часто зависят серьезные решения. Давайте разберемся, что такое абсолютная погрешность, как она связана с относительной, как вычислить по формуле и интерпретировать на практике.
Определение абсолютной погрешности
Абсолютная погрешность (Δx
) - это разность между измеренным значением физической величины (x
) и ее истинным значением (x0
):
Δx = x - x0
Где x
- приближенное значение величины, x0
- точное (истинное) значение. Например, если с помощью линейки измерили длину отрезка как 12 см, а истинная длина отрезка 12,3 см, то абсолютная погрешность составит:
Δx = 12 см - 12,3 см = -0,3 см
Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах измерения, что и сама физическая величина. В нашем случае - в сантиметрах.
Связь абсолютной и относительной погрешностей
Относительная погрешность (δ
) показывает, насколько процентов отклоняется полученный результат от истинного значения. Она связана с абсолютной погрешностью соотношением:
δ = (Δx / x0) · 100%
В нашем примере с длиной отрезка относительная погрешность составит:
δ = (|-0,3| / 12,3) · 100% = 2,4%
Абсолютная погрешность косвенных измерений
При косвенных измерениях искомая величина вычисляется по известной формуле через другие, непосредственно измеренные величины. Например, сопротивление проводника R = U/I.
Для расчета абсолютной погрешности косвенных измерений используют формулу, основанную на методе границ:
Δx = |(∂f/∂x1)Δx1 + (∂f/∂x2)Δx2 +...+ (∂f/∂xn)Δxn|
Где:
- x - искомая величина
- Δx - ее абсолютная погрешность
- f - формула для расчета величины x
- (∂f/∂xi) - частная производная по каждому аргументу
- Δxi - абсолютная погрешность для каждого аргумента
Рассмотрим на примере. Необходимо найти абсолютную погрешность электрического сопротивления R = U/I, если измерены напряжение U = (220 ± 2) В и сила тока I = (5 ± 0,1) А.
Пример расчета для электрического сопротивления
ΔR = |(-1/I2)ΔU + (U/I2)ΔI| = |(-1/52)2 + (220/52)0,1| = 3,6 Ом
Итого, сопротивление равно:
R = (44 ± 3,6) Ом
Анализ различных видов погрешностей
Для того чтобы минимизировать погрешности в дальнейшем, важно разобраться в причинах их возникновения. Рассмотрим подробнее разные виды:
Систематические погрешности
Это наиболее опасные, так как они вносят постоянное смещение результата. Причины могут быть самые разные:
- Неточная градуировка приборов
- Влияние внешних условий
- Ошибки методики
Случайные погрешности
Хотя случайные погрешности и не смещают результат в какую-либо сторону, но они также нежелательны, поскольку:
- Ухудшают воспроизводимость
- Увеличивают разброс данных
Способы борьбы со случайными погрешностями
Чтобы минимизировать влияние случайных факторов, можно использовать такие приемы:
- Усреднение результатов многократных измерений
- Автоматизация сбора и обработки данных
- Повышение квалификации персонала
Пример устранения систематической погрешности
Если выявлена и достоверно измерена величина систематической составляющей, то ее можно скомпенсировать, например, вводя поправочный коэффициент в расчетную формулу.
Поправки на систематические погрешности
Допустим, при измерении напряжения на резисторе в цепи постоянного тока, выяснилось, что показания вольтметра систематически завышены на 0,1 В. Тогда фактическое напряжение Уф можно рассчитать по формуле:
Уф = Уизм - 0,1 В
Где Уизм - измеренное вольтметром напряжение. Аналогичный подход применим и в других случаях.
Статистическая обработка данных
Если есть возможность провести многократные измерения одной и той же величины, то на основе полученной выборки можно произвести статистическую обработку и более точно оценить истинное значение.
Вычисление среднего арифметического
Среднее арифметическое позволяет уменьшить случайную составляющую погрешности:
ксср = (x1 + x2 + ... + xn) / n
Оценка стандартного отклонения
Стандартное отклонение характеризует разброс данных в выборке:
σ = √((x1 - ксср)2 + (x2 - ксср)2 + ... + (xn - ксср)2) / (n - 1)
Автоматизация обработки данных
Современные информационные технологии позволяют минимизировать влияние человеческого фактора за счет автоматизации сбора и анализа результатов.
Автоматизированные системы сбора данных
Системы автоматического сбора данных, такие как АСУ ТП, SCADA и другие, позволяют накапливать большие массивы измерительной информации без участия оператора.
Преимущества автоматизации
- Исключение ошибок отсчета и записи показаний
- Высокая периодичность опроса датчиков
- Хранение данных в цифровом виде
Автоматизированная статистическая обработка
Собранные данные можно обрабатывать WHEN с помощью специального программного обеспечения, которое автоматически рассчитает:
- Средние значения
- Стандартные отклонения
- Доверительные интервалы
- Построит графики и т.д.
Метрологическое обеспечение эксперимента
Для снижения погрешностей очень важно тщательно продумать методики измерений и используемые технические средства.
Приборы должны иметь достаточный класс точности и диапазон измерений.
Метрологическая аттестация оборудования
Все средства измерений должны проходить периодическую поверку и калибровку для подтверждения метрологических характеристик и работоспособности.
Контроль условий эксперимента
Необходимо обеспечить нормируемые условия по таким параметрам, как:
- Температура окружающей среды
- Влажность воздуха
- Атмосферное давление
- Уровень вибрации
- Наличие электромагнитных помех и т.д.
Аттестация методики выполнения измерений
Методика измерений должна пройти метрологическую экспертизу и аттестацию для подтверждения ее работоспособности и корректности.
Большую роль в обеспечении точности играет уровень квалификации инженеров и техников, осуществляющих измерения.
Требования к персоналу:
- Знание нормативных документов
- Опыт работы с конкретными приборами и оборудованием
- Владение компьютерными программами обработки
- Способность выявлять грубые погрешности