Квадрат – одна из самых простых геометрических фигур. Казалось бы, что нового можно сказать о такой привычной конструкции? Оказывается, даже у квадрата есть удивительные, малоизвестные свойства. Давайте разберемся!
Определение квадрата и его место среди четырехугольников
Итак, квадрат – это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Квадрат является:
- Частным случаем параллелограмма (у которого противоположные стороны параллельны). У квадрата выполняются все 5 свойств параллелограмма.
- Частным случаем прямоугольника (у которого все углы прямые). У квадрата выполняются все свойства прямоугольника.
- Частным случаем ромба (у которого все стороны равны). Квадрату присущи все свойства ромба.
Итого, у квадрата 10 основных свойств. Рассмотрим некоторые из них подробнее:
- Диагонали квадрата равны.
- Диагонали квадрата делят его углы пополам.
- В квадрате две оси симметрии – его диагонали.
Среди всех правильных многоугольников (у которых стороны и углы равны) квадрат занимает особое место. Это самый простой правильный многоугольник после равностороннего треугольника.
Квадратную форму можно встретить в самых разных местах: на шахматной доске, в архитектурных сооружениях, при разметке дорог и т.д. Такую популярность обеспечивают удобные свойства квадрата.
Формулы для вычисления параметров квадрата
Для квадрата существуют простые формулы, позволяющие вычислять его основные параметры:
- Площадь квадрата равна квадрату стороны:
S = a2 - Диагональ квадрата выражается через сторону:
d = a√2 - Радиус вписанной окружности равен половине стороны:
rвп = а/2 - Радиус описанной окружности равен половине диагонали:
rоп = d/2
Используя эти формулы, можно легко решать множество задач, связанных с вычислением площади квадрата, его диагонали и радиусов окружностей. Ниже приведены примеры.
Пример 1
Дан квадрат со стороной 5 см. Найти его площадь, периметр и диагональ.
Решение:
Сторона а = 5 см Площадь: S = а2 = 52 = 25 см2 Периметр: P = 4·а = 4·5 = 20 см Диагональ: d = a√2 = 5√2 ≈ 7,1 см
Ответ: S = 25 см2; P = 20 см; d = 7,1 см.
Пример 2
Дан квадрат со стороной 12 дм. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.
Решение: Сторона а = 12 дм Радиус вписанной окружности: rвп = а/2 = 12/2 = 6 дм Радиус описанной окружности: rоп = d/2 = а√2/2 = 12√2/2 ≈ 8,5 дм
Ответ: rвп = 6 дм; rоп = 8,5 дм.
Как видим, используя формулы для квадрата можно быстро находить нужные параметры.
Доказательство: диагонали квадрата делят его углы пополам
Это утверждение выглядит интуитивно понятным, однако давайте формально докажем его с использованием известных нам свойств квадрата.
Теорема
В квадрате диагонали делят каждый угол пополам.
Доказательство
Пусть ABCD – квадрат. Докажем, что его диагональ BD делит угол ABC пополам (аналогично доказывается для трех остальных углов).
Из свойств квадрата известно, что:
- ABCD – параллелограмм
- AC = BD (диагонали параллелограмма равны)
- AC перпендикулярна BD (диагонали квадрата перпендикулярны)
В прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза BD делит угол ABC пополам.
Следовательно, в квадрате ABCD его диагональ BD делит угол ABC пополам. Теорема доказана.
Следствия
Из доказанной теоремы вытекает несколько важных следствий:
- Все углы квадрата равны (каждый угол делится пополам диагональю).
- Диагонали квадрата являются осями симметрии.
- Площадь квадрата можно вычислить как площадь двух треугольников, образованных диагональю.
Применение теоремы
Доказанная теорема помогает решать задачи, связанные с вычислением углов квадрата и его элементов. Рассмотрим пример.
Пример. В квадрате ABCD точка K делит сторону BC пополам. Доказать, что угол AKD прямой.
Решение. Поскольку K делит BC пополам, то BK=KC. Значит, в треугольниках ABK и ACK две стороны равны соответственно (AB = AC как стороны квадрата и BK = KC по условию). Следовательно, углы ABK и ACK также равны. Но diagonal BD делит угол ACK пополам. Значит, угол ABK, равный углу ACK, тоже прямой. Поэтому угол AKD, лежащий напротив угла ABK, является прямым. Утверждение доказано.
