Теорема о касательной и секущей - одна из фундаментальных теорем геометрии. Хотя она и не так широко известна, как теорема Пифагора или теорема Евклида, но ее значение для математики трудно переоценить.
1. Формулировка теоремы о касательной и секущей
Итак, давайте напомним, как звучит теорема о касательной и секущей к окружности:
Если из точки вне окружности проведены к ней касательная и секущая, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.
Здесь под касательной понимается прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, а секущей - прямая, пересекающая окружность в двух точках. Внешней частью секущей называется часть от точки пересечения до конца отрезка. Для наглядности давайте посмотрим на рисунок:
Как видно из рисунка, здесь выполняются следующие равенства:
- AB - касательная
- AD - секущая
- AC - внешняя часть секущей
И для них справедливо соотношение: AD × AC = AB2
2. Классическое доказательство теоремы
Теорема о касательной и секущей к окружности обычно доказывается с помощью дополнительных построений и использования свойств подобных треугольников. Рассмотрим это доказательство подробнее.
Проведем из точки A хорду BC (см. рисунок). Затем заметим, что ∠ABC и ∠ABD - вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BD. Поэтому они равны. Отсюда треугольники ABC и ABD подобны, так как имеют по два равных угла.
Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
AB : AD = AD : AC
А это равносильно требуемому тождеству AD × AC = AB2. Теорема доказана!
3. История теоремы
Кто же первым открыл теорему о касательной и секущей? К сожалению, авторство этой теоремы доподлинно неизвестно. Первое упоминание о ней встречается в трудах Аполлония Пергского (ок. 262 - ок. 190 до н.э.) - выдающегося древнегреческого математика и астронома. Вот цитата из его книги:
«Если в одной точке пересечься с окружностью и касательной, и диаметрального отрезка [секущей], то прямоугольник, образованный всем отрезком и его наружной частью, равен квадрату на касательной».
Однако некоторые историки предполагают, что теорема могла быть известна еще раньше - в частности, ее приписывают пифагорейцам. Как бы то ни было, в Средние века она вошла во все основные своды по геометрии, а в Новое время стала общеизвестной.
Вот лишь некоторые интересные факты, связанные с историей этой замечательной теоремы:
| 262 до н.э. | Предполагаемая дата открытия теоремы (авторство пифагорейцев) |
| 190 до н.э. | Первое письменное упоминание теоремы в трудах Аполлония |
| 1200 год | Теорема включена в арабские переводы "Начал" Евклида |
4. Применение теоремы
Теорема о касательной и секущей находит самое разнообразное применение как в чистой математике, так и в ее приложениях.
В геометрии с помощью этой теоремы решается множество задач на построение, вычисление углов, длин отрезков и площадей фигур, связанных с окружностью. Она позволяет находить расстояния от точки до окружности, выражать радиус через стороны треугольника и так далее.
В физике теорема применяется при решении задач, связанных с движением тел. Например, она используется в кинематике при описании движения материальной точки по окружности.
5. Обобщения теоремы
Существует несколько обобщений теоремы о касательной и секущей. Рассмотрим некоторые из них.
Одно из распространенных обобщений связано с понятием степени точки. Если взять произвольную точку внутри или вне окружности и провести через нее произвольную секущую, то произведение отрезков этой секущей будет постоянным. Это произведение и называется степенью данной точки.
Другое обобщение касается случая, когда из одной точки проводится сразу несколько секущих. Здесь также имеет место аналогичное постоянство для произведений отрезков каждой секущей.
6. Теорема об угле между касательной и секущей
Еще одним важным обобщением является теорема об угле между касательной и секущей. Согласно ей, если из одной точки провести к окружности касательную и секущую, то угол между ними измеряется полуразностью дуг между точками касания и пересечения секущей с окружностью.
Это один из ключевых результатов при решении многих геометрических задач, поэтому очень важно хорошо знать и понимать данную теорему.
7. Значение теоремы в математике
Подводя итог, еще раз отметим огромное значение теоремы о касательной и секущей в геометрии. Практически нет такой области математики, где бы она не находила применения.
Эта теорема лежит в основе тригонометрии, математического анализа, дифференциальной геометрии. Она используется в теории функций комплексного переменного, проективной геометрии, топологии.
Поэтому изучение теоремы о касательной и секущей крайне важно для понимания практически всех разделов современной математики.
8. Следствия из теоремы
Из теоремы о касательной и секущей вытекает множество важных следствий, которые также часто применяются на практике.
Одно из следствий гласит, что если из точки вне окружности провести две секущие, то произведения каждой секущей на соответствующую внешнюю часть будут равны между собой. Это свойство используется при решении многих задач на вычисление неизвестных элементов треугольника, связанного с окружностью.
Другим важным следствием является утверждение о том, что отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны между собой. Оно позволяет вычислять расстояния от данной точки до произвольной окружности.
9. Ошибки при применении теоремы
Несмотря на кажущуюся простоту формулировки, теорема о касательной и секущей таит в себе много подводных камней. Рассмотрим типичные ошибки, возникающие при ее использовании.
Во-первых, часто путают в формулировке касательную и секущую. Необходимо четко понимать их определения и различия между этими понятиями.
Во-вторых, не всегда верно выбирается точка, из которой проводятся касательная и секущая. Эта точка обязательно должна лежать вне данной окружности.
10. Интересные факты
В заключение приведем несколько любопытных фактов о теореме о касательной и секущей.
Например, она дала название астероиду 12121 Tangent-Secant, открытому в 1998 году. А в честь этой теоремы также назван математический журнал Tangents And Secants.
Кроме того, из-за важности теоремы для геометрии ее иногда в шутку называют "второй теоремой Пифагора".
Также существует гипотеза, что великий художник и ученый Леонардо да Винчи при создании своих шедевров пользовался закономерностями, вытекающими из рассматриваемой теоремы. Однако это предположение до сих пор не нашло однозначного подтверждения.
