Площадь поверхности призмы — формула для ее вычисления в геометрии

Призма - одна из наиболее фундаментальных геометрических фигур. Знание формул для вычисления площади поверхности призм позволяет решать множество практических задач при расчете необходимого количества строительных материалов, площади орошения, объема емкостей и т.д.

Что такое призма в геометрии

Призма в геометрии - это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников (оснований) и боковой поверхности. Боковая поверхность призмы образована параллелограммами, соединяющими соответственные стороны оснований.

Различают несколько видов призм:

• Прямые призмы - боковые ребра перпендикулярны плоскости основания
• Наклонные призмы - боковые ребра наклонены к плоскости основания
• Правильные призмы - основание является правильным многоугольником (треугольник, квадрат, шестиугольник и т.д.)

Основные элементы призмы:

1. Основания - два равных многоугольника
2. Боковые грани - параллелограммы, соединяющие стороны оснований
3. Высота - перпендикуляр, опущенный из вершины на основание
4. Боковое ребро - общая сторона боковой грани и основания

Площадь поверхности призмы

Площадь поверхности призмы складывается из:

• Площадей двух оснований
• Площади боковой поверхности

Таким образом, формула имеет вид:

S_полн = S_бок + 2S_осн

Где S_полн - площадь полной поверхности призмы, S_бок - площадь боковой поверхности, S_осн - площадь основания.

Площадь боковой поверхности прямой призмы

Для прямой призмы боковая поверхность состоит из прямоугольников. Площадь каждого прямоугольника равна произведению соответствующей стороны основания на высоту призмы.

Следовательно, сумма площадей всех боковых прямоугольников, т.е. площадь боковой поверхности, равна произведению периметра основания P_осн на высоту призмы h:

S_бок = P_осн · h

Эта формула применима для любой прямой призмы.

Площадь поверхности правильной призмы

Для правильной призмы используются специальные формулы площади основания и периметра в зависимости от вида многоугольника.

Площадь поверхности правильной треугольной призмы

Формулы для равностороннего треугольника:

Где a - сторона треугольника

Подставляя в общую формулу, получаем:

S_полн = P_осн·h + 2S_осн = 3ah + (√3a²)/2

Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы

Формулы для квадрата:

Где a - сторона квадрата

Подставляя значения, имеем:

S_полн = P_осн·h + 2S_осн = 4ah + 2a²

Аналогично можно получить формулу и для шестиугольной призмы. Таким образом, зная вид многоугольника основания призмы и его параметры, можно вычислить площадь полной поверхности.

Вывод формулы площади боковой поверхности

Давайте выведем формулу для вычисления площади боковой поверхности прямой призмы.

Рассмотрим развертку боковой поверхности прямой треугольной призмы ABC-A1B1C1:

Боковые грани AA1, BB1 и CC1 - это прямоугольники. Площадь каждого прямоугольника равна произведению соответствующего ребра основания на высоту призмы h:

• S_AA1 = AB · h
• S_BB1 = BC · h
• S_CC1 = CA · h

Суммируя эти площади, получаем:

S_бок = S_AA1 + S_BB1 + S_CC1 = AB · h + BC · h + CA · h = (AB + BC + CA) · h = P_осн · h

Таким образом, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания P_осн на высоту призмы h. Что и требовалось доказать.

Применение формул на практике

Рассмотрим несколько примеров применения полученных формул для решения практических задач.

Пример 1. Вычисление объема цистерны

Имеется прямоугольная цистерна для хранения воды в форме прямой призмы с размерами основания 4x5 м и высотой 3 м. Требуется вычислить объем цистерны и площадь ее полной поверхности.

Решение:

1. Объем прямой призмы V = S_осн · h. Так как основание прямоугольник 4x5 м, то S_осн = 4·5 = 20 м². Высота цистерны 3 м.
2. По формуле объема: V = S_осн · h = 20 · 3 = 60 м³
3. Периметр основания P_осн = 4 + 4 + 5 + 5 = 18 м
4. По формуле площади полной поверхности: S_полн = P_осн·h + 2·S_осн = 18·3 + 2·20 = 150 м²

Ответ: объем цистерны 60 м³, площадь полной поверхности 150 м².

Применение формул площадей в других областях знаний

Помимо чистой геометрии, формулы площадей поверхностей призм применяются и в других дисциплинах:

• В физике - при вычислении площади поверхности теплообмена
• В строительстве - для расчета объемов зданий и сооружений и потребности в отделочных материалах
• В дизайне - для расчета освещенности помещений и количества светильников

Рассмотрим применение формул для призм в физике более подробно.