Трапеция, вписанная в окружность, обладает уникальными свойствами. Рассмотрим подробно, какие закономерности скрывает эта простая на вид фигура и как можно использовать ее особенности на практике в решении задач и в прикладных областях. Изучим разные виды таких трапеций и выведем формулы для расчета параметров.
Основные определения и понятия
Прежде чем перейти к детальному рассмотрению свойств трапеции, вписанной в окружность, давайте уточним некоторые базовые определения.
- Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основаниями), а другие две стороны непараллельны (боковые стороны).
- Вписанный многоугольник – это многоугольник, внутри которого можно описать окружность, касающуюся всех его сторон.
- Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.
Свойства углов трапеции вписанной в окружность
Важное свойство углов при основаниях трапеции вписанной в окружность:
Сумма углов при каждом основании равна 180° (∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°).
Это позволяет по одному углу найти величину противоположного.
Вычисление параметров трапеции вписанной в окружность
Рассмотрим полезные формулы:
- Высота h = 2R (где R - радиус вписанной окружности)
- Если окружность делит сторону на отрезки a и b: R = √ab
Эти соотношения используются при вычислении площади и периметра трапеции вписанной в окружность.
Применение свойств в задачах
Рассмотрим пример использования свойств трапеции вписанной в задаче на вычисление площади:
Задача: В трапецию ABCD вписана окружность радиусом R = 6 см.
Построение трапеции вписанной в окружность
Алгоритм построения трапеции вписанной:
- Строим окружность произвольного радиуса
- Проводим хорду, которая делит окружность пополам
- Проводим высоту трапеции, проходящую через центр окружности
Есть особые случаи при построении.
Построение равнобедренной трапеции
При построении равнобедренной трапеции вписанной в окружность соблюдаем дополнительные условия:
- Строим диаметр окружности
- Отмечаем на нем точку, через которую проводим хорду
- Хорда должна быть параллельна одному из радиусов окружности
Таким образом получаем равные боковые стороны трапеции.
Построение прямоугольной трапеции
Чтобы построить прямоугольную трапецию вписанную в окружность:
- Строим диаметр окружности
- Отмечаем на нем произвольную точку
- Через точку проводим хорду перпендикулярно диаметру
Получаем один прямой угол между хордой и диаметром.
Применение трапеции вписанной в архитектуре
Форма трапеции часто используется в архитектурных конструкциях благодаря ее высокой устойчивости:
- Крыши зданий
- Арок
- Рам
Рассмотрим еще несколько примеров задач на вычисление площади, периметра и других параметров трапеции вписанной в окружность с использованием полученных ранее формул и свойств.
Пример 1
В трапецию ABCD с основаниями AD = 16 см и BC = 10 см вписана окружность. Найдите боковую сторону АВ, если известно, что ∠ABC = 30°.
По свойству углов трапеции вписанной в окружность: ∠CDA = 180° - 30° = 150°
Далее, используем теорему синусов.
Пример 2
В равнобедренную трапецию вписана окружность диаметром 34 см. Найти площадь трапеции, если ее большее основание равно 51 см.
По свойству высоты трапеции вписанной в окружность: h = диаметр = 34 см Большее основание - 51 см Тогда формула площади трапеции...
Обратные задачи
Рассмотрим примеры задач, в которых требуется найти радиус окружности или другие параметры фигуры по заданным свойствам трапеции вписанной.
Дана равнобедренная трапеция ABCD, вписанная в окружность. Известно, что основания трапеции равны 28 см и 20 см, а одна из боковых сторон равна 12 см. Найти радиус окружности.
По теореме Пифагора для треугольника ABD: AB^2 = BD^2 + AD^2 Подставляя значения сторон, получаем: BD = √(AB^2 - AD^2) = √(28^2 - 12^2) = 16 см
Так как в равнобедренной трапеции диагонали равны, то AC = BD = 16 см. А радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции, то есть половине диагонали. Ответ: R = AC/2 = BD/2 = 16/2 = 8 см.
Нестандартные задачи
Рассмотрим несколько нестандартных задач на применение свойств трапеции вписанной в окружность.
Задача
В трапецию вписана окружность диаметра 34 см. Можно ли найти площадь трапеции, если известно только значение одного из ее острых углов — 30°?
Известно, что один из углов трапеции равен 30°. По свойству углов трапеции вписанной, противоположный ему угол равен 180° - 30° = 150°.
Также известен диаметр вписанной окружности - 34 см. Значит, высота трапеции h = 34 см.
Однако этой информации недостаточно, чтобы найти площадь трапеции. Неизвестна длина ни одного из оснований. Поэтому ответить на вопрос однозначно нельзя.
Если бы была задана хотя бы длина одного основания, можно было бы вычислить площадь по формуле S = (a + b)*h/2, где a и b - основания трапеции.
Применение трапеции вписанной на практике
Кроме решения математических задач, знание свойств трапеции вписанной в окружность важно в инженерных расчетах, архитектуре, строительстве.
Требуется спроектировать арочный проем наибольшей высоты при ограничении.
Необходимо проверить, выдержит ли каркас здания в виде трапеции нагрузку.
