Корень формулы - одна из фундаментальных операций в математике. От умения находить корни зависит решение многих практических задач: построение графиков, решение уравнений, расчет параметров в физике и технике. Но какими способами можно извлекать корни, если вычислять вручную долго и трудоемко? Давайте разберем основные методы и свойства.
Определение и виды корней
Корень степени n (где n - натуральное число) из числа a обозначается √na и определяется как число b , которое при возведении в степень n дает a :
b n = a
Различают несколько видов корней:
- Арифметический корень из неотрицательного числа, который является вещественным числом
- Действительные корни из отрицательных чисел, не имеющие смысла в вещественной математике
- Комплексные корни, значения которых принадлежат множеству комплексных чисел
Чаще всего вычисляют значения квадратных (√2a), кубических (√3a) или некоторых степенных (√na) корней. Рассмотрим способы нахождения таких корней более подробно.
Представление корней и округление
Корень формулы может быть выражен в виде:
- Обыкновенной или десятичной дроби
- Десятичного приближения (числа с плавающей точкой)
- Иррационального числа
При записи корней важно понимать, какую точность или количество знаков после запятой требуется получить. Например, при решении школьных задач достаточно округлить корень до 2-3 знаков после запятой. А вот при инженерных расчетах потребуется гораздо более высокая точность.
Для округления корней используют стандартные правила округления десятичных дробей. Округленные значения корней часто можно найти в специальных математических таблицах.
Основные методы вычисления корней
Существует несколько способов нахождения точного или приближенного значения корня формулы:
- Ручное извлечение корней "столбиком", по аналогии с делением чисел
- Использование логарифмов и показательных функций
- Применение готовых формул для квадратных, кубических и некоторых степенных корней
- Методы численного приближения: Ньютона, секущих, итераций и др.
Разберем некоторые наиболее показательные методы подробнее.
Ручное извлечение корней производится аналогично делению "столбиком", только вместо частного получаем постепенно значение корня. Например, для квадратного корня запись имеет вид:
| √1225.567 = | 35 |
| 7 |
Где подчеркнутая цифра - очередная цифра корня.
Для точного вычисления корней часто используют логарифмические и показательные тождества. Например:
√na = exp(ln(a)/n)n√a = a1/n
Где exp - показательная функция, ln - натуральный логарифм. С помощью таких формул можно свести извлечение корней к более простым операциям.
Для вычисления квадратных и кубических корней часто используют готовые формулы, которые позволяют довольно просто найти корень, не прибегая к итерационным методам. К таким формулам относят:
- Формулы
формулы квадратных корней 8 классдля квадратных корней сумм и разностей - Формулы для кубических корней через квадратные
Однако такие формулы есть не для всех случаев. Поэтому чаще приходится использовать приближенные численные методы.
Наиболее популярный метод - метод Ньютона, основанный на линейной аппроксимации функции и построении касательной. Из подобранной начальной точки строится последовательность приближений, сходящаяся к корню. Скорость сходимости метода квадратичная.
Другой распространенный численный метод - метод хорд, в котором используется аппроксимация кусочно-линейной функцией. Также позволяет получать все более точное значение корня.
Свойства и тождества с участием корней
Помимо непосредственного нахождения значений, важно уметь преобразовывать выражения, содержащие корни. Знание основных свойств и тождеств позволяет упростить многие вычисления.
Основные свойства арифметического корня:
- Корень из произведения равен произведению корней:
√(ab) = √a · √b - Корень из частного равен частному корней:
√(a/b) = √a/√b - Корень из степени равен корню в этой степени:
√(an) = (√a)n
Часто используется разложение корней в непрерывную дробь. Это позволяет быстро получать рациональные приближения корня с заданной точностью.
Важную роль в вычислениях играют формулы связи корней и степеней:
am/n = √n(am)- корень степени n из a в степени mn√a = a1/n- n -й корень равен a в дробной степени 1/n
Рассмотрим несколько примеров применения свойств корней на практике:
√(2 · 5 · 10) = √10 · √5 · √23√(27a4) = 3√(27) · 3√(a4) = 3 · a
Корни в геометрии и физике
Помимо чисто алгебраических задач, корни часто фигурируют при решении геометрических задач и в физических формулах.
Например, квадратные корни тесно связаны с построением отрезков с помощью циркуля и линейки. Из отрезка длиной 1 с их помощью можно построить отрезки, длины которых выражаются конечными выражениями из натуральных чисел, знаков арифметических операций и квадратных корней.
В физике корни регулярно используются для описания различных зависимостей и расчета характеристик. Например, ускорение свободного падения g связано со скоростью света c и гравитационной постоянной G соотношением:
g = √(c5 · G)Корни позволяют также компактно описывать различные физические константы. Так, постоянная тонкой структуры:
α = √(2 · R∞ · c · e2 / h · c)Где R∞ - постоянная Ридберга, e - заряд электрона, h - постоянная Планка.
Методы извлечения корней: история развития
Задачи, связанные с нахождением корней, встречались еще в трудах вавилонских математиков в 2-3 тысячелетии до н.э. Например, тексты содержат пример вычисления квадратного корня из 2 с точностью до 6 знаков после запятой.
В древнегреческой математике значительное внимание уделялось геометрическим задачам с корнями, таким как удвоение куба. Первые численные методы извлечения кубических корней принадлежат Герону Александрийскому (I век н.э.).
Современные символы для корней впервые ввел немецкий математик Кристоф Рудольф в 16 веке, а показатель степени появился благодаря Ньютону.
Компьютерные методы извлечения корней
В настоящее время вычисление корней на компьютерах и калькуляторах реализовано как встроенные функции, библиотеки или аппаратные команды. Они позволяют быстро и с высокой точностью находить корни любых порядков.
Для реализации чаще всего используются итерационные методы вроде Ньютона, хорд, итераций и другие численные методы.
Современные процессоры и графические чипы поддерживают аппаратное вычисление квадратных корней в виде одной машинной команды (SQRT). Это позволяет выполнять операцию за 1 такт процессора.
Таким образом численные методы извлечения корней позволили реализовать эту операцию с высочайшей эффективностью на современных компьютерах.
