Алгебра играет значимую роль в нашей повседневной жизни. Понимание основ работы с многочленами - необходимость как для школьников, так и для тех, кто занимается освоением программирования, физики и многих других наук.
1. Понятие многочлена и его стандартный вид
Для начала давайте разберемся, что такое многочлен и его стандартный вид.
Многочлен - это математическое выражение, представляющее собой сумму нескольких одночленов. Одночлен - это произведение числовых коэффициентов на переменные, возможно, в каких-то степенях. Например:
- 5x + 3y - многочлен, состоящий из двух одночленов 5x и 3y;
- 2x2y - одночлен с числовым коэффициентом 2 и переменными x и y;
- 125a4b2 - одночлен с коэффициентом 125 и переменными a и b в степенях 4 и 2.
Стандартный вид многочлена - это такая его запись, в которой выполнены два условия:
- Каждый одночлен имеет стандартный вид (число стоит перед переменной, переменные записаны в алфавитном порядке);
- В многочлене отсутствуют подобные одночлены (одночлены, отличающиеся только числовым коэффициентом).
Например, многочлен 3x + 5y + 2x находится в стандартном виде, так как его одночлены имеют стандартный вид, и подобных одночленов нет. А многочлен y + 3x + 2xy не является стандартным, поскольку одночлен 2xy не имеет стандартного вида записи.
2. Шаги приведения многочлена к стандартному виду
Как записать многочлен в стандартном виде? Для этого необходимо выполнить два шага:
- Привести все одночлены многочлена к стандартному виду (число перед переменными, переменные по алфавиту);
- Привести подобные одночлены (сложить одночлены с одинаковыми переменными).
Рассмотрим пример приведения к стандартному виду многочлена y + 3b + 4xy - 2yx.
На первом шаге приводим одночлены к стандартному виду. Одночлены y и 3b уже записаны верно. А вот одночлены 4xy и -2yx нужно преобразовать так, чтобы переменные были написаны по алфавиту:
y + 3b + 4xy - 2yx = y + 3b + 2xy - 4xy.
На втором шаге приводим подобные одночлены 2xy и -4xy, складывая их коэффициенты:
y + 3b - 2xy.
Получили многочлен в стандартном виде!
В некоторых случаях один из шагов может отсутствовать. Например, если все одночлены изначально записаны стандартно, то первый шаг пропускается. А если подобных одночленов нет, то нет необходимости во втором шаге.
3. Примеры приведения разных многочленов к стандартному виду
Рассмотрим несколько конкретных примеров приведения многочленов к стандартном виду.
Пример 1. Приведем к стандартному виду многочлен z + 5yz + 3zy:
- Приводим одночлены к стандартному виду. Все одночлены уже записаны верно.
- Приводим подобные одночлены:
z + 5yz + 3zy = z + 8yz.
Ответ: z + 8yz.
Пример 2. Приведем многочлен (2x - 3)(x + 5):
- Раскроем скобки по правилам умножения:
(2x - 3)(x + 5) = 2x·x - 3·x + 2x·5 - 3·5 - Приведем одночлены к стандартному виду:
2x^2 - 3x + 10x - 15 - Приведем подобные одночлены:
2x^2 + 7x - 15
Ответ: 2x^2 + 7x - 15.
Пример 3. Запишем в стандартном виде: 4x2y-3 - 2xy4 + 3x3
Решение:
- Приводим одночлены к стандартному виду:
4x2y-3 - 2x4y + 3x3 - Приводим подобные одночлены: нет
Ответ: 4x2y-3 - 2x4y + 3x3
Как видно из примеров, приведение разных многочленов к стандартному виду может включать в себя раскрытие скобок, приведение отрицательных степеней к положительным дробям, работу с рациональными коэффициентами и т.д.
Главное - четко знать два шага преобразования и применять их до получения нужного результата.
4. Работа с отрицательными коэффициентами и степенями
Рассмотрим особенности приведения к стандартному виду многочленов, содержащих отрицательные коэффициенты и степени.
Пример 4. Запишем в стандартном виде: -3x2y + 5xy2 - 2x3
Решение:
- Приводим одночлены к стандартному виду: уже записаны верно
- Приводим подобные одночлены: нет
Ответ: -3x2y + 5xy2 - 2x3
Как видим, наличие отрицательных коэффициентов не влияет на общий порядок действий.
5. Работа с дробными коэффициентами
Пример 5. Приведем к стандартному виду: 1/2 x3 - 3/4 x2y + 2xy
Решение:
- Приводим одночлены к стандартному виду: уже записаны верно
- Приводим подобные одночлены: нет
Ответ: 1/2 x3 - 3/4 x2y + 2xy
Дробные коэффициенты тоже не меняют общего алгоритма приведения к стандартному виду.
6. Работа с корнями и другими операциями
Пример 6. Запишем в виде многочлена: x + √5xy + (3x + 2y)2
Решение:
- Раскроем скобки и возведение в степень:
x + √5xy + (3x)2 + 2(3x)(2y) + (2y)2 - Приведем одночлены к стандартному виду:
x + √5xy + 9x2 + 12xy + 4y2 - Приводим подобные одночлены: нет
Получили многочлен стандартного вида с корнем.
7. Приведение нулевых многочленов
Особый случай - так называемые нулевые многочлены, все одночлены которых взаимно уничтожаются. Например:
x + 3x - 4x
После приведения подобных одночленов получаем:
0
То есть многочлен, тождественно равный нулю. Такие многочлены тоже записывают в виде числа 0.
8. Применение при решении уравнений
Рассмотрим, как приведение к стандартному виду может быть полезно при решении уравнений.
Например, нужно решить уравнение:
x + 3x - 5(x + 1) = 0
Для начала запишем левую часть в виде многочлена и запишем его в стандартном виде:
x + 3x - 5x - 5 = x - 2x - 5
Теперь можно приравнять многочлен к нулю и решить уравнение:
x - 2x - 5 = 0
x - 2x = 5
-x = 5
x = -5
Ответ: x = -5
9. Применение при нахождении производной
Приведение многочлена к стандартному виду также необходимо перед нахождением производной.
Например, найдем производную многочлена:
2x3y + x2y2 - 3xy + 1
Сначала запишем его в виде:
2x3y + x2y2 - 3xy
А затем дифференцируем:
6x2y + 2xy2 - 3y
10. Применение при интегрировании
Аналогично, перед интегрированием многочлена важно предварительно записать его в стандартном виде.
Пусть нужно найти неопределенный интеграл:
∫(x2 + 2x - 3)dx
Преобразуем подынтегральное выражение:
∫(x2 + 2x - 3)dx = ∫(x2 + 2x)dx - ∫3dx
Теперь интегрирование не составляет труда:
= (x3/3 + x2) - 3x + C
