Перпендикулярность - одно из фундаментальных понятий геометрии. Без знания основ перпендикулярности невозможно решать многие задачи и строить чертежи. Но что же на самом деле означает "перпендикулярно это"? Давайте разберемся.
Определение перпендикулярности
Перпендикулярность - это бинарное отношение между различными геометрическими объектами, такими как векторы, прямые, плоскости и другие. Говоря проще, перпендикулярность означает, что два объекта расположены под прямым углом друг к другу.
Например, две пересекающиеся прямые на плоскости называются перпендикулярными , если угол между ними равен 90 градусов, то есть является прямым углом.
Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.
А вот векторы называются перпендикулярными, если скалярное произведение этих векторов равно нулю. Формально это можно записать так:
⟂ ⟺ ⟨⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⟩ = 0
Где u и v - перпендикулярные векторы.
Что касается плоскостей , то они называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90 градусов. Или другими словами, если любые две прямые, лежащие в этих разных плоскостях и пересекающиеся между собой, также являются перпендикулярными.
Для обозначения перпендикулярности в геометрии используется специальный символ ⟂, который был предложен французским математиком Пьером Эригоном еще в 1634 году.
Свойства перпендикулярных прямых
У перпендикулярных прямых есть несколько важных свойств, которые часто используются при решении задач и доказательстве теорем.
Теорема о перпендикулярной прямой
Одно из важнейших свойств перпендикулярных прямых сформулировано в следующей теореме:
Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.
Это означает, что к данной прямой a можно "поставить" перпендикуляр в любой точке этой прямой (скажем, в точке B):
- Возьмем произвольную точку прямой a - точку B
- В точке B отложим от луча прямой a угол 90 градусов
- Получим перпендикулярную прямую b
При этом такой перпендикуляр b к прямой a в точке B будет единственным. Через ту же точку B нельзя провести еще одну прямую, которая также была бы перпендикулярна a. Это и доказывается в теореме от противного.
То есть "перпендикулярно это" в данном случае означает, что:
- Перпендикуляр можно "поставить" к прямой в любой точке этой прямой
- Этот перпендикуляр будет единственным
Что же касается задачи...
Что же касается задачи на построение перпендикуляра к данной прямой, то здесь теорема о перпендикулярных прямых тоже применима. Рассмотрим алгоритм построения.
Алгоритм построения перпендикуляра к прямой
Итак, нужно построить перпендикуляр к прямой AB в некоторой заданной точке P этой прямой. Это делается в 3 шага:
- С помощью циркуля проводим полуокружность радиусом P с центром P, получая точки A' и B'
- Не меняя радиус циркуля, строим две полуокружности с центрами в точках A' и B', проходящие через точку P
- Соединяем точку пересечения этих полуокружностей (точку Q) с точкой P. Отрезок PQ и будет искомым перпендикуляром к прямой AB
Здесь важно понимать, что "перпендикулярно это" по отношению к прямой AB означает, что отрезок PQ образует прямые углы с прямой AB в точке P. И благодаря теореме мы знаем, что такой перпендикуляр PQ в точке P будет единственным.
Нахождение координат основания перпендикуляра
Если прямая AB задана уравнением, а точка P - координатами (xp, yp), то координаты основания перпендикуляра (точки Q) можно найти по формулам:
- Если AB вертикальна, то xQ = xA и yQ = yP
- Если AB горизонтальна, то xQ = xP и yQ = yA
Где (xA, yA) и (xB, yB) - координаты точек A и B.
Перпендикулярность в пространстве
Помимо плоскости, перпендикулярность применима и к объектам в пространстве. Например, две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они соответственно параллельны двум другим перпендикулярным прямым из одной плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Существует признак, позволяющий определить, является ли прямая перпендикулярной к плоскости:
Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых некоторой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
То есть если прямая a перпендикулярна двум непараллельным прямым линиям b и c, лежащим в одной плоскости α, то она перпендикулярна всей плоскости α. Иными словами, "перпендикулярно это" означает перпендикулярность ко всем прямым плоскости α сразу.
При решении задач на перпендикулярность важно понимать и уметь применять основные свойства перпендикулярных прямых и плоскостей.
Например, если в условии задачи сказано, что "две прямые перпендикулярные третьей не пересекаются", то из этого следует, что они параллельны. А если "диагонали равны и перпендикулярны", значит это - квадрат или ромб.
