Рациональные выражения - одна из важнейших тем школьного курса алгебры. Давайте разберемся, что представляют собой рациональные выражения, какие существуют их виды и как можно вычислить значение рационального выражения.
Определение рационального выражения
Чтобы дать определение рационального выражения, сначала напомним, что такое математическое выражение вообще и из каких элементов оно состоит.
Математическое выражение - это набор чисел, буквенных обозначений (переменных) и математических операций над ними. Например:
- 3x + 5y - число и переменные, соединенные знаками операций;
- (a + b)2 - выражение в скобках, возведенное в степень;
- √49 - корень квадратный из числа.
Теперь можно дать формальное определение рационального выражения. Рациональное выражение - это выражение, состоящее из чисел, переменных, арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень), а также корней натуральной степени. Например:
- (x2 - 9)/(x - 3)
- 2x3 + x/3
- √(a2 + b2)
К рациональное выражение рациональным относят и целые выражения вида: 5x + 12, и дроби вида: (a + 3)/(2x - 1). Давайте подробно разберемся с основными видами рациональных выражений.
Виды рациональных выражений
Среди рациональных выражений выделяют два вида:
- Целые выражения
- Дробные выражения
Целые и дробные выражения
Чем же отличаются эти два основных вида рациональных выражений - целые и дробные?
Целое выражение состоит только из чисел, переменных и таких операций как сложение, вычитание, умножение и деление на число (но не на переменную или выражение). Примеры целых выражений:
- 5x + 3
- 12a - 7b
- (2x - 1) * (x + 5)
В дробном выражении, помимо перечисленных операций, присутствует деление на переменную, выражение или многочлен. Например:
- x/(x2 - 4)
- (3x + 5)/(2y - 1)
- √(49)/(7 - t)
Рациональная дробь
Особый вид дробного выражения называется рациональная дробь. Это когда в выражении-дроби числитель и знаменатель являются многочленами. Пример рациональной дроби: (x2 + 2)/(x3 - 3x)
В рациональных дробях есть важный момент - допустимые значения переменной. Это такие значения, при которых выражение имеет смысл, то есть дробь не приводит к делению на ноль. Например, в дроби (x2 - 1)/(x - 3) нельзя подставлять значение x = 3, так как получится деление на ноль.
Правила преобразования рациональных выражений
Чтобы упростить рациональное выражение или вычислить его значение при конкретных значениях переменных, используются различные правила преобразования.
Порядок действий
Прежде всего, при вычислении значения рационального выражения нужно придерживаться правильного порядка действий:
- Вначале выполняются действия в скобках;
- Затем идут операции умножения и деления;
- В конце - сложение и вычитание.
Приведение дробей к общему знаменателю
Если в выражении присутствуют несколько дробей, их часто нужно преобразовать так, чтобы у них был общий знаменатель.
Действия с дробями
- Сложение и вычитание дробей. Чтобы сложить или вычесть дроби, их предварительно нужно привести к общему знаменателю. Затем складываются (вычитаются) числители, а общий знаменатель остается без изменений.
- Умножение и деление дробей. При умножении дробей перемножаются их числители и знаменатели. При делении дроби делятся их числители и знаменатели.
- Возведение дроби в степень. Чтобы возвести дробь в степень, нужно отдельно возвести в эту степень ее числитель и знаменатель.
Примеры преобразования рациональных выражений
Рассмотрим несколько конкретных примеров, демонстрирующих описанные выше правила преобразования рациональных выражений.
Пример 1. Приведение дробей к общему знаменателю
Рассмотрим выражение: 2/35 + 4/15.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, найдем наименьшее общее кратное знаменателей дробей: НОК(35, 15) = 105.
Теперь преобразуем каждую дробь так, чтобы ее знаменатель стал равен 105:
- Для первой дроби знаменатель умножаем на 3;
- Для второй дроби знаменатель умножаем на 7.
Преобразованное выражение: 6/105 + 28/105 = 34/105
Пример 2. Сложение дробей
Выполним сложение двух дробей: 2/3 +3/4
Сначала приведем дроби к общему знаменателю 12. Получим: 8/12+9/12
Сложим числители дробей и сохраним общий знаменатель: (8+9)/12
Ответ: 17/12
Пример 3. Умножение дробей
Найдем произведение: 4/5*7/8
Для умножения дробей перемножаем их числители и знаменатели: 4*7/5*8
Ответ: 28/40 = 7/10
