Вписанные окружности - одна из самых увлекательных тем школьной геометрии. Хотя на первый взгляд это кажется скучным и формальным разделом. На самом деле, изучая свойства вписанных окружностей, мы открываем для себя удивительные геометрические факты. Например, что в любой треугольник можно вписать ровно одну окружность, которая касается всех трех сторон. Или что центр этой окружности всегда лежит на пересечении биссектрис треугольника. Казалось бы, зачем нам это надо знать? Оказывается, очень даже надо! Без понимания свойств вписанных окружностей невозможно решать многие важные геометрические задачи. В этой статье мы подробно разберем вывод формулы для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник. Эта формула часто встречается в школьной программе и задачниках. Поэтому так важно ее вывести и хорошо понять.
Теорема о вписанной окружности в треугольник
Прежде чем переходить непосредственно к формуле радиуса, давайте напомним определения и основные свойства вписанных окружностей в треугольниках. Это поможет нам лучше осознать вывод формулы и ее смысл.
Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, касающуюся всех трех сторон этого треугольника.
Итак, вписанная окружность обязана касаться сторон треугольника в неких точках. Через эти точки можно провести отрезки касательных к окружности. И здесь приходит первая важная теорема:
- отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны между собой;
- центр окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.
Последнее утверждение особенно важно, поэтому давайте докажем его. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку O пересечения его биссектрис . Проведем из точки O перпендикуляры на стороны треугольника. Получим точки D, E и F.
Поскольку O лежит на биссектрисе ∠BAC, то:
OD = OE
Аналогично, так как O лежит на биссектрисе ∠ACB:
OE = OF
Отсюда, в силу транзитивности равенства:
OD = OE = OF
Значит, точка O равноудалена от сторон треугольника. Согласно определению, это и есть центр вписанной окружности! Таким образом, центр вписанной в треугольник окружности всегда лежит в точке пересечения биссектрис этого треугольника.
Осталось лишь сделать важное следствие из доказанной теоремы:
В любой треугольник можно вписать одну и только одну окружность.
Действительно, поскольку точка пересечения биссектрис в треугольнике единственна, то и центр окружности, в него вписанной, тоже единственный. А раз центр один, то и окружность, соответственно, одна.
Итак, мы выяснили ключевые свойства вписанной окружности в произвольном треугольнике:
- Отрезки касательных из одной точки равны;
- Центр окружности лежит на пересечении биссектрис;
- В любой треугольник можно вписать ровно одну окружность.
Эти свойства очень пригодятся далее, при выводе интересующей нас формулы радиуса для прямоугольного треугольника.
Общая формула радиуса вписанной окружности
Применение формулы Герона
Полученная формула содержит длину стороны a. Чтобы избавиться от нее, воспользуемся известной формулой Герона для вычисления площади треугольника через его стороны:
S = √(p·(p - a)·(p - b)·(p - c))
Здесь p - полупериметр треугольника:
p = (a + b + c) / 2
Подставляя выражение для S из формулы Герона в нашу формулу радиуса, имеем:
r = (a^2 - 2·√(p·(p - a)·(p - b)·(p - c))) / (2·a)
Затем, представив a через полупериметр p, получаем общую формулу радиуса вписанной окружности для любого треугольника:
r = √(p·(p - a)·(p - b)·(p - c)) / p
Вывод формулы радиуса для прямоугольного треугольника
Настало время получить формулу радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник. Воспользуемся для этого теоремой Пифагора и покажем все выкладки.
Итак, дан прямоугольный треугольник ABC с вписанной в него окружностью радиуса r и центром в точке O.
Проведем из точки O отрезки касательных OK и OF к окружности. По теореме об отрезках касательных они равны радиусу:
OK = OF = r
Так как угол AOB прямой (90 o), то прямоугольник AOKF квадрат со стороной r.
Тогда для гипотенузы AC верно равенство:
AC = OK + KC = r + (r + BF) = BF + 2r
А из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника ABC имеем:
AC2 = AB2 + BC2
Подставляем выражение для AC:
(BF + 2r)2 = AB2 + BC2
Раскрываем скобки и получаем окончательную формулу радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник через его катеты:
r = (AB + BC - AC) / 2
Пример вычисления радиуса по формуле
Покажем на численном примере, как можно воспользоваться полученной формулой на практике. Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Требуется найти радиус вписанной в него окружности.
По теореме Пифагора находим длину гипотенузы:
AC = √(52 + 122) = 13 см
Подставляем значения катетов и гипотенузы в формулу радиуса:
r = (5 + 12 - 13) / 2 = 2 см
Ответ: радиус вписанной окружности равен 2 см.
