Искривленная линия, замкнувшаяся в овал. Две прямые, устремленные друг к другу, словно руки влюбленных. Угол, купающий носок в гладкой изгороди. Это лишь немногие образы, скрывающие за собой удивительный мир окружностей и вписанных в них углов.
1. Что такое вписанный угол и где его можно встретить
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Такие углы можно встретить в архитектуре – например, в арках мостов, ворот зданий. В природе они присутствуют в изгибах рек, складках ландшафта. Художники используют свойства вписанных углов при рисовании натюрмортов с вазами, пейзажей с холмами.
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.
Интересный факт: впервые вписанные углы начали изучать еще в Древней Греции. Знаменитый математик Евклид в своих трудах описал некоторые их удивительные свойства.
2. Основные свойства вписанных углов
У вписанных углов есть несколько поразительных свойств, которые пригодятся в решении задач и практических вопросов.
- Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается
- Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой
- Центральный угол в 2 раза больше вписанного угла, если они опираются на одну дугу
Рассмотрим подробнее каждое из этих утверждений.
Свойства вписанного угла в окружность заключаются в следующем:
-
Вписанный угол всегда равен половине той дуги, на которую он опирается. Например, если дуга равна 60°, то вписанный угол будет 30°.
-
Свойства угла вписанного в окружность таковы, что углы, опирающиеся на одну дугу, являются равными. Ведь они зависят от величины этой дуги.
-
Если вписанный угол опирается на диаметр окружности, то он всегда прямой, потому что диаметр это половина окружности, а прямой угол составляет 90°.
-
Центральный угол в 2 раза больше вписанного, если они опираются на одну дугу. Например, если центральный 120°, то вписанный будет 60°.
Таким образом, зная свойства вписанных углов и величину какого-то одного элемента – дуги, центрального или вписанного угла, можно найти остальные углы и дугу.
3. Как доказать свойства вписанного угла
Чтобы доказать перечисленные выше свойства вписанных углов, рассмотрим 3 возможных случая:
- Центр окружности лежит на стороне угла
- Центр окружности лежит между сторонами угла
- Центр окружности лежит вне угла
| 1) Рассмотрим треугольник AOB: | 2) Разобьем угол на два меньших: | 3) Вычтем один угол из другого: |
| ∠A = ∠B, так как АО = ОВ | ∠1 = 1⁄2 дуги АС, ∠2 = 1⁄2 дуги СД | ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB |
| ∠АВС = 1⁄2∠АОС | ∠АВД = ∠1 + ∠2 = 1⁄2 дуги АД | ∠MAD = 1⁄2 дуги MD |
Получаем, что вписанный угол всегда равен половине дуги, на которую опирается. Аналогично можно доказать и другие свойства.
4. Применение свойств вписанных углов на практике
Рассмотрим несколько примеров, как можно использовать удивительные свойства вписанных углов в реальной жизни.
Решение задач ЕГЭ и ОГЭ
Знание свойств вписанных углов помогает быстро и верно решать задачи из ЕГЭ и ОГЭ. Например:
Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 200°. А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 80°. Найдите вписанный угол ACB.
Решение: воспользуемся свойством, что вписанный угол равен половине дуги. ∠ACB = 1⁄2(200° + 80°) = 1⁄2·280° = 140°. Ответ: 140°.
Применение в навигации
Моряки, летчики, водители часто пользуются вписанными углами при навигации. Например, зная угол поворота реки или дороги, можно рассчитать нужный курс.
Использование в архитектуре и строительстве
Арки, купола, архитектурные детали часто строятся на основе свойств вписанных углов. Это придает им прочность, красоту, гармонию.
Применение в дизайне
Дизайнеры интерьеров и одежды нередко используют окружности с вписанными углами. Это создает ощущение законченности, стильности.
5. Удивительные факты о вписанных углах
В заключение приведем несколько любопытных фактов о вписанных углах, которые заставят по-новому взглянуть на геометрию.
Парадокс с ниткой
Если взять нитку длиной равной радиусу и потянуть ее по дуге окружности, то получится хорда в 2 раза больше исходного радиуса! Этот парадокс можно объяснить свойствами вписанных углов.
Тайна Пизанской башни
Считается, что знаменитая падающая Пизанская башня получила свой наклон оттого, что при строительстве неправильно рассчитали вписанные углы в ее основании.
Как видите, доказательство и применение свойств вписанных углов не только полезно, но и весьма увлекательно!
6. Использование свойств вписанных углов в искусстве
Знание удивительных свойств вписанных углов пригодится не только инженерам и строителям, но также художникам, скульпторам, дизайнерам.
В живописи
Художники часто изображают арки, купола, портики с использованием правил построения вписанных углов. Это придает картинам гармонию, реалистичность, выразительность.
В скульптуре
Ваятели тоже нередко применяют свойства вписанных углов. Например, скульптурные группы и фонтаны содержат округлые фигуры, построенные на основе данных свойств.
В оформительском искусстве
Декоративные элементы, лепнина, резьба по дереву - во всех этих видах прикладного творчества используются вписанные углы. Они создают ощущение завершенности, гармонии.
7. Открытые вопросы о вписанных углах
Несмотря на многовековую историю, тема вписанных углов до сих пор хранит немало загадок и неизведанных областей.
Нерешенные задачи
Ряд сложных геометрических задач с применением вписанных углов до сих пор не имеет решения. Возможно, вы сумеете их решить?
Неоткрытые свойства
Математики предполагают, что у вписанных углов есть и другие удивительные свойства, которые еще предстоит найти. Сделаете это открытие вы?
8. Где почитать еще об этом
По теме вписанных углов и их свойств существует обширная литература. Вот некоторые интересные источники:
- Книга "Вписанные и центральные углы" математика Н.И. Лобачевского
- Статья "Удивительные секреты вписанных углов" на портале ege.sdamgia.ru
- Глава "Практические приложения вписанных углов" в учебнике геометрии А.В. Погорелова
