Объем данного правильного тетраэдра равен 64 см3: примеры задач

Задача о нахождении объема правильного тетраэдра с ребром, равным 64 см3, на первый взгляд может показаться тривиальной. Однако правильное решение этой, казалось бы, простой задачи требует глубоких знаний геометрии и владения математическим аппаратом.

Теоретические основы вычисления объема правильного тетраэдра

Для нахождения объема правильного тетраэдра используется формула:

V = √2/12 * a³

где V - объем тетраэдра, а - длина ребра. Таким образом, объем прямо пропорционален кубу длины ребра. Это означает, что при изменении длины ребра в k раз, объем изменится в k³ раз.

Объем правильного тетраэдра можно также вычислить по формулам:

• V = 1/3 * S * h, где S - площадь грани, h - высота, опущенная на эту грань
• V = sin∠γ * 2/3 * (S_α * S_β)/AB, где S_α и S_β - площади граней α и β, sin∠γ - угол между гранями

Существуют и другие подходы к вычислению объема, основанные на векторах, разбиении тетраэдра на призмы и т.д.

Решение задачи про объем тетраэдра из задачника

Итак, сформулируем условие задачи:

Дан правильный тетраэдр. Объем данного правильного тетраэдра равен 64 см3. Требуется найти объем другого правильного тетраэдра, ребро которого в 2 раза меньше ребра данного.

Поскольку объем правильного тетраэдра прямо пропорционален кубу длины ребра, то объем тетраэдра с ребром, уменьшенным в 2 раза, должен уменьшиться в 2³ = 8 раз.

Итак, объем исходного тетраэдра равен 64 см3. Ребро второго тетраэдра в 2 раза меньше ребра данного. Следовательно, объем второго тетраэдра должен быть в 8 раз меньше объема данного тетраэдра.

Вычисление объема второго тетраэдра

Объем данного правильного тетраэдра равен 64 см3. Чтобы найти объем второго тетраэдра, делим этот объем на 8:

Получаем, что объем тетраэдра, ребро которого в 2 раза меньше ребра данного, равен 8 см3.

Геометрическая интерпретация результата

Как мы видели ранее, объем тетраэдра прямо пропорционален кубу длины его ребра. Это объясняет, почему при уменьшении длины ребра в 2 раза объем уменьшился в 2³ = 8 раз. Данная задача иллюстрирует эту важную закономерность.

Обобщение задачи на произвольный множитель

Рассмотрим теперь более общий случай: пусть ребро одного тетраэдра относится к ребру другого как k:1. Объем данного тетраэдра равен V см3. Найдем объем второго тетраэдра Ṽ.

Поскольку объем тетраэдра пропорционален кубу ребра, то:

Таким образом, мы получили общую формулу для решения подобных задач.

Практическое применение результатов

Найденные закономерности между ребром и объемом тетраэдра имеют большое практическое значение. Они позволяют вычислить объем тетраэдра, если известно изменение длины его ребра. Это применимо в архитектуре, машиностроении, дизайне - везде, где используются объемные модели.

Вычисление объема тетраэдров в задачах ЕГЭ

Рассмотрим применение полученных знаний при решении задач на вычисление объемов тетраэдров из вариантов ЕГЭ.

Задача 1

Дан тетраэдр ABCD с ребром AC, равным 10 см. Найдите объем тетраэдра A'B'C'D', подобного данному тетраэдру с коэффициентом подобия 1/2.

По условию, коэффициент подобия k=1/2. Это означает, что все ребра тетраэдра A'B'C'D' в 2 раза меньше ребер исходного тетраэдра ABCD. Следовательно, объем тетраэдра A'B'C'D' будет в 2³=8 раз меньше объема тетраэдра ABCD. Для нахождения этого объема можно использовать общую формулу, выведенную ранее:

Где V - объем тетраэдра ABCD, V' - объем A'B'C'D', k=1/2.

Задача 2

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно 4 м, а высота - 2 м.

Сначала вычислим площадь основания пирамиды через сторону а = 4 м по известной формуле для площади правильного треугольника со стороной а:

Далее используем формулу для площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, выраженную через площадь основания S и

В нашем случае апофема равна высоте пирамиды h = 2 м. Подставляя значения в формулу, получаем:

Ответ: 12 м^2.

Применение формул объемов в инженерных расчетах

При проектировании различных конструкций инженеры часто используют объемные модели на основе тетраэдров. Например, метод конечных элементов позволяет моделировать сложные объекты путем разбиения их на тетраэдры и вычисления характеристик каждого элемента.

Знание точных формул для вычисления объемов тетраэдров позволяет инженерам быстро оценивать объемы моделируемых конструкций, рассчитывать необходимое количество материалов, анализировать прочностные характеристики.

Таким образом, изучение объемов тетраэдров имеет не только академический интерес, но и большую практическую пользу в инженерии и технике.