Тригонометрические функции - неотъемлемая часть школьной программы по математике. Однако многие ученики испытывают трудности с пониманием их смысла и практического применения. Эта статья - подробное руководство для начинающих, которое поможет раз и навсегда разобраться в основных тригонометрических функциях.
1. Базовые определения
Для начала давайте определим, что такое тригонометрические функции и откуда они возникли.
Тригонометрические функции позволяют выразить зависимость длин сторон треугольника от его углов. Они исторически возникли при изучении свойств прямоугольных треугольников.
К основным тригонометрическим функциям относят:
- Синус (sin)
- Косинус (cos)
- Тангенс (tg)
- Котангенс (ctg)
Давайте посмотрим, как связаны эти функции с треугольником:
- Синус угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы
- Косинус угла равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы
- Тангенс угла равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего катета
- Котангенс угла равен отношению длины прилежащего катета к длине противолежащего катета
Для удобства работы с тригонометрическими функциями используют понятие радианной меры угла . В этом случае величина угла выражается не в градусах, а в радианах. Один радиан равен углу, при котором длина дуги окружности равна радиусу этой окружности. Для перевода градусной меры в радианную используют соотношение:
1 радиан = 180°/π
Тригонометрические функции удобно рассматривать на тригонометрическом круге - единичной окружности, центр которой совпадает с началом координат. Значения sin и cos угла на этом круге соответствуют координатам точки пересечения луча, образующего данный угол, с окружностью:
- Значение sin угла равно ординате этой точки
- Значение cos угла равно абсциссе этой точки
2. Значения тригонометрических функций основных углов
Давайте теперь разберем, какие значения принимают тригонометрические функции для некоторых основных углов.
В школьном курсе математики обычно рассматривают следующие значения функций:
| Угол | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| sin | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tg | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | не опр. |
| ctg | не опр. | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
Здесь видно несколько особых точек:
- При угле 0° sin = 0, cos = 1. Это связано с определением функций через треугольник
- При угле 90° sin = 1, cos = 0. Луч в этой точке касается окружности
- Функции tg и ctg имеют точки разрыва, где не определены
Также важно понимать, что значения тригонометрических функций периодичны. Это означает, что синус, косинус и другие функции принимают одинаковые значения для углов, отличающихся на величину, кратную 360°:
sin(30°) = sin(30° + 360°) = sin(30° + 720°) и т.д.
По этому свойству, зная значения функций для основных углов от 0° до 90°, можно найти значения для любых углов, используя формулы приведения.
3. Формулы приведения
Давайте теперь разберем, как с помощью формул приведения можно найти значения тригонометрических функций для произвольных углов, зная табличные значения для основных углов.
Например, нужно найти sin 150°. Из таблицы значений мы знаем, что sin 30° = 0,5. Но 150° не является основным табличным углом. Воспользуемся следующей формулой приведения:
sin(α ± 360°) = sin α
Где α - исходный угол. Преобразуем 150° так, чтобы получить табличный угол 30°:
150° = 30° + 120°
120° = 360° - 240°
Подставляя в формулу приведения, получаем:
sin 150° = sin (30° + 120°) = sin (30° + 360° - 240°) = sin 30° = 0,5
4. Тригонометрические таблицы Брадиса
Еще один удобный инструмент для нахождения значений тригонометрических функций - это таблицы Брадиса. В отличие от обычных таблиц, таблицы Брадиса позволяют находить значения функций с точностью до минут.
Рассмотрим пример использования таблицы Брадиса для синуса. Допустим, нужно вычислить sin 24°37'. Сначала в левом столбце таблицы находим значение градусов - 24°. Затем в верхней строке ищем значение минут - 37'. На пересечении этих значений в таблице указано приближенное значение sin 24°36'.
Чтобы учесть дополнительную минуту (до 37'), используем поправки из правой части таблицы. Для одной минуты поправка равна 0,0003. Прибавляя ее к значению из таблицы, получаем точный ответ:
sin 24°37' = 0,4163 + 0,0003 = 0,4166
5. Свойства тригонометрических функций
Тригонометрические функции обладают рядом важных свойств, которые помогают в вычислениях и доказательстве тождеств.
Рассмотрим некоторые из этих свойств:
- Непрерывность. Функции sin и cos являются непрерывными на всей числовой оси. Функции tg и ctg имеют разрывы в точках ±90°, ±270° и т.д.
- Четность и нечетность. Функции sin и tg нечетны (меняют знак при замене угла на противоположный). Функции cos и ctg четны (знак не меняется).
- Периодичность. Все тригонометрические функции периодичны с периодом, равным 360° или 2π радиан.
Эти и другие свойства позволяют упростить многие вычисления с тригонометрическими функциями.
