Окружность, вписанная в параллелограмм: свойства и особенности

Геометрические фигуры, такие как параллелограмм и окружность, изучаются в школе на уроках геометрии. Но что если соединить их вместе? Что получится, если в параллелограмм вписать окружность? Давайте разберемся!

Что такое параллелограмм и его свойства

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. К основным свойствам параллелограмма относятся:

• Противоположные стороны параллельны и равны между собой: AB = CD, AD = BC
• Противоположные углы равны: α = γ, β = δ
• Диагонали взаимно перпендикулярны друг другу

Периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон:

P = 2(a + b), где a и b – смежные стороны параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на соответствующую ей высоту:

S = ah, где a – сторона параллелограмма, h – высота, проведенная к стороне a

Существует несколько видов параллелограмма: прямоугольник, ромб и квадрат. У них есть дополнительные свойства.

Условия вписанности окружности в четырехугольник

Окружность называется вписанной в четырехугольник, если она касается всех его сторон. Для того, чтобы окружность можно было вписать в выпуклый четырехугольник, должно выполняться следующее условие:

Суммы противоположных сторон четырехугольника должны быть равны.

Это утверждение называется теоремой о вписанном четырехугольнике. Доказательство этой теоремы мы опустим, а сразу посмотрим, какое следствие из нее вытекает для параллелограмма.

Из определения параллелограмма известно, что его противоположные стороны уже изначально равны. Поэтому если в параллелограмм можно вписать окружность, то это означает, что все его стороны равны. То есть такой параллелограмм является ромбом!

Другими словами, в общий параллелограмм окружность вписать нельзя – только в частный случай параллелограмма, ромб.

Радиус R вписанной в ромб окружности можно найти по следующим формулам:

• R = (S ромба) / (полупериметр ромба)
• R = (высота ромба) / 2
• R = d sqrt(1 - cosα) / 2, где d – большая диагональ, α – угол между диагоналями

Рассмотрим задачу на вписанную в параллелограмм окружность:

Ответ: 40 см.

Центр вписанной окружности в параллелограмме

Центр окружности, вписанной в параллелограмм, находится в точке пересечения биссектрис всех углов параллелограмма. Однако для таких частных случаев, как ромб, прямоугольник и квадрат, есть более простой способ найти центр.

В ромбе и квадрате центр вписанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей этих фигур. А в прямоугольнике центр вписанной окружности также находится в пересечении диагоналей, причем это совпадает с центром окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Координаты центра вписанной окружности в произвольном параллелограмме можно также найти по формулам через координаты вершин или длины его сторон. Но на практике чаще используют более простые способы, указанные выше.

Касание окружности в параллелограмме

Рассмотрим, как окружность касается сторон параллелограмма.

Угол между касательной и стороной параллелограмма, в точку которой проведена эта касательная, равен 90 градусов. А если касательные проведены из одной точки к окружности, то они равны между собой (это свойство касательной).

Используя эти факты, можно доказать, например, следующее утверждение: если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм является ромбом. Доказательство проводится от противного и базируется на неравенстве треугольника и равенстве касательных, проведенных из одной точки.

Применение вписанной окружности при решении задач на параллелограмм

Рассмотрим несколько примеров, как свойства вписанной окружности помогают в решении задач на параллелограмм.

Если в условии задачи сказано, что в параллелограмм вписана окружность, то сразу можно сделать вывод, что это ромб. Это позволяет использовать свойства ромба при дальнейшем решении.

Например, если нужно найти площадь или периметр такого параллелограмма через какой-то элемент, то применяем формулы для ромба. Или если в задаче дан радиус вписанной окружности, то находим сторону ромба через формулы радиуса вписанной в ромб окружности.

Построение параллелограмма по заданным элементам

Зная свойства вписанной окружности, можно выполнить построение параллелограмма (ромба), если заданы:

• Радиус вписанной окружности
• Центр вписанной окружности
• Точка касания одной из сторон
• Один из углов параллелограмма

Например, если даны радиус R вписанной окружности и координаты центра (xc, yc), то строим окружность радиуса R с центром в точке (xc, yc). Затем отмечаем произвольную точку касания A на окружности, проводим касательную в этой точке, которая будет стороной AB искомого параллелограмма. Далее достраиваем параллелограмм, пользуясь свойствами параллельности и равенства сторон.

Некоторые интересные факты:

• Квадрат является единственным параллелограммом, который одновременно является правильным многоугольником
• Среди всех параллелограммов с данным периметром, наибольшую площадь имеет квадрат
• Параллелограммы широко используются в строительстве благодаря простоте расчетов. Например, в арочных конструкциях

Задачи на вписанную окружность в параллелограмм

В качестве примера приведем классическую задачу на применение свойств вписанной окружности в решении задачи на параллелограмм.

Дан параллелограмм ABCD с вписанной в него окружностью, касающейся сторон в точках K, L, M, N. Найти NK, если KL = 5 см.

Решение:

Поскольку в параллелограмм ABCD возможно вписать окружность, это ромб. KL и NM - отрезки касательных, проведенные из одной точки. Значит KL = NM. Ответ: 5 см.

Примеры использования параллелограммов в архитектуре

Параллелограммы нашли широкое применение в архитектуре и строительстве. Рассмотрим несколько примеров:

• Арки. Арки часто имеют форму параллелограмма в сечении. Это упрощает расчеты несущей способности.
• Своды. В каменных сводах используются параллелограммные блоки. Благодаря плоским параллельным граням, они хорошо подходят для кладки сводов.
• Купола. Иногда купола делают не круглой, а параллелограммной формы в основании. Это также упрощает расчеты.