Что такое хорда в геометрии: краткий ответ для начинающих

Хорда - базовое понятие геометрии, с которым сталкивается каждый школьник. Но не все знают, что конкретно это такое. Давайте разберемся!

Определение хорды

Итак, что такое хорда в геометрии?

Хорда - это отрезок прямой линии, соединяющий любые две точки на окружности или ином замкнутом кривом контуре (эллипсе, параболе и т.д.).

Важно отметить, что хорда ограничена точками пересечения с контуром. В отличие от секущей, которая бесконечно продолжается в обе стороны.

На рисунке ниже изображены две хорды AB и CD:

Особый случай, когда хорда проходит через центр окружности. Такая хорда называется диаметром и является самой длинной хордой в окружности.

Чем хорда отличается от радиуса

Радиус - это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней. В отличие от радиуса, хорда может соединять любые две точки окружности, не обязательно проходя через центр.

Что такое хорда окружности в геометрии

Хорда окружности - это частный случай хорды, когда речь идет об окружности. То есть это отрезок прямой внутри круга, соединяющий两个 точки на окружности.

Основные свойства хорды

У хорды есть несколько важных свойств, которые используются при решении различных геометрических задач:

• Длина хорды меньше диаметра окружности, но больше ее радиуса.
• Если две хорды равной длины, то они находятся на одинаковом расстоянии от центра.
• Хорда, проходящая через центр окружности, является ее диаметром.

Рассмотрим более подробно свойство пересекающихся хорд. Пусть есть две хорды AB и CD, которые пересекаются в точке E:

Тогда выполняется следующее соотношение:

AE * EB = EC * ED

Это свойство используется при решении многих задач с хордами.

Как найти длину хорды

Чтобы найти длину хорды, нужно знать радиус окружности R и величину центрального угла α, опирающегося на хорду. Тогда по формуле:

L = 2 * R * sin(α/2)

можно легко посчитать искомую длину L.

Например, пусть R=5 см, α = 60°. Тогда:

L = 2 * 5 * sin(60°/2) = 2 * 5 * sin(30°) = 5 см

Длина этой хорды равна 5 см.

Онлайн калькулятор для вычисления длины хорды

Если производить вычисления вручную утомительно или есть вероятность ошибки, можно воспользоваться онлайн калькуляторами.

Достаточно зайти на один из сайтов, ввести известные значения R и α, нажать кнопку "Рассчитать" - и калькулятор сам произведет вычисления по формуле, выдав готовый ответ.

Ниже указаны названия двух полезных калькуляторов для нахождения длины хорды:

• Калькулятор 1
• Калькулятор 2

Чтобы удостовериться в корректности найденного значения длины, можно воспользоваться различными подходами.

Проверка по теореме Пифагора

Один из способов проверки - использовать теорему Пифагора. Рассмотрим хорду AB. Проведем перпендикуляр CD к ней из центра окружности O. Получим прямоугольный треугольник ACD.

Согласно теореме Пифагора для него верно соотношение:

AC^2 = AB^2 + CD^2

Где AC - радиус окружности. Он известен.

CD - расстояние от центра окружности до хорды. Его можно найти, зная радиус и угол при хорде.

Подставив эти значения и вычисленную ранее длину AB в формулу, мы можем проверить равенство. Если оно выполняется - значит, длина хорды найдена верно.

Графическая проверка

Еще один способ - построить окружность, хорду и другие элементы с найденными значениями в графическом редакторе.

Если при построении все элементы занимают правильное положение, то и вычисления верны.

Такая проверка дает хорошую визуальную оценку правильности решения.

Автоматизированная проверка

Можно также воспользоваться специальными компьютерными программами, которые позволяют автоматически проверять решения геометрических задач.

Достаточно ввести исходные данные и полученный ответ - программа сама проверит решение и укажет на ошибки, если таковые обнаружатся.

Применение хорд при решении задач

Рассмотрим несколько примеров задач на применение свойств хорд:

1. Дана окружность с центром O и хордой AB. Из центра окружности проведен перпендикуляр CD к хорде, который делит ее пополам. Найдите угол AOB.

   Решение. Из условия следует, что CD - радиус окружности. А по теореме, если радиус перпендикулярен хорде и делит ее пополам, то он делит пополам и дугу, на которую опирается хорда. Значит, ∠AOB - это половина дуги AB, то есть ∠AOB = 90°.

2. Даны две пересекающихся хорды AB и CD. Найдите отношение AE : EC, если AB = 16, а CD = 10.

   Решение. По свойству пересекающихся хорд, AE * EB = EC * ED. Отсюда AE/EC = EB/ED = 16/10 = 8/5.

3. Какой длины может быть хорда окружности радиусом 13 см, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5 см?

   Решение. Используем теорему Пифагора: AC^2 = AB^2 + BC^2 132 = AB2 + 52 AB = √164 = 12,8 см

   Ответ: 12,8 см.

Как видно из примеров, знание свойств хорд позволяет решать довольно разнообразные задачи.