Хорда - базовое понятие геометрии, с которым сталкивается каждый школьник. Но не все знают, что конкретно это такое. Давайте разберемся!
Определение хорды
Итак, что такое хорда в геометрии?
Хорда - это отрезок прямой линии, соединяющий любые две точки на окружности или ином замкнутом кривом контуре (эллипсе, параболе и т.д.).
Важно отметить, что хорда ограничена точками пересечения с контуром. В отличие от секущей, которая бесконечно продолжается в обе стороны.
На рисунке ниже изображены две хорды AB и CD:
Особый случай, когда хорда проходит через центр окружности. Такая хорда называется диаметром и является самой длинной хордой в окружности.
Чем хорда отличается от радиуса
Радиус - это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней. В отличие от радиуса, хорда может соединять любые две точки окружности, не обязательно проходя через центр.
Что такое хорда окружности в геометрии
Хорда окружности - это частный случай хорды, когда речь идет об окружности. То есть это отрезок прямой внутри круга, соединяющий两个 точки на окружности.
Основные свойства хорды
У хорды есть несколько важных свойств, которые используются при решении различных геометрических задач:
- Длина хорды меньше диаметра окружности, но больше ее радиуса.
- Если две хорды равной длины, то они находятся на одинаковом расстоянии от центра.
- Хорда, проходящая через центр окружности, является ее диаметром.
Рассмотрим более подробно свойство пересекающихся хорд. Пусть есть две хорды AB и CD, которые пересекаются в точке E:
Тогда выполняется следующее соотношение:
AE * EB = EC * ED
Это свойство используется при решении многих задач с хордами.
Как найти длину хорды
Чтобы найти длину хорды, нужно знать радиус окружности R и величину центрального угла α, опирающегося на хорду. Тогда по формуле:
L = 2 * R * sin(α/2)
можно легко посчитать искомую длину L.
Например, пусть R=5 см, α = 60°. Тогда:
L = 2 * 5 * sin(60°/2) = 2 * 5 * sin(30°) = 5 см
Длина этой хорды равна 5 см.
Онлайн калькулятор для вычисления длины хорды
Если производить вычисления вручную утомительно или есть вероятность ошибки, можно воспользоваться онлайн калькуляторами.
Достаточно зайти на один из сайтов, ввести известные значения R и α, нажать кнопку "Рассчитать" - и калькулятор сам произведет вычисления по формуле, выдав готовый ответ.
Ниже указаны названия двух полезных калькуляторов для нахождения длины хорды:
- Калькулятор 1
- Калькулятор 2
Чтобы удостовериться в корректности найденного значения длины, можно воспользоваться различными подходами.
Проверка по теореме Пифагора
Один из способов проверки - использовать теорему Пифагора. Рассмотрим хорду AB. Проведем перпендикуляр CD к ней из центра окружности O. Получим прямоугольный треугольник ACD.
Согласно теореме Пифагора для него верно соотношение:
AC^2 = AB^2 + CD^2
Где AC - радиус окружности. Он известен.
CD - расстояние от центра окружности до хорды. Его можно найти, зная радиус и угол при хорде.
Подставив эти значения и вычисленную ранее длину AB в формулу, мы можем проверить равенство. Если оно выполняется - значит, длина хорды найдена верно.
Графическая проверка
Еще один способ - построить окружность, хорду и другие элементы с найденными значениями в графическом редакторе.
Если при построении все элементы занимают правильное положение, то и вычисления верны.
Такая проверка дает хорошую визуальную оценку правильности решения.
Автоматизированная проверка
Можно также воспользоваться специальными компьютерными программами, которые позволяют автоматически проверять решения геометрических задач.
Достаточно ввести исходные данные и полученный ответ - программа сама проверит решение и укажет на ошибки, если таковые обнаружатся.
Применение хорд при решении задач
Рассмотрим несколько примеров задач на применение свойств хорд:
-
Дана окружность с центром O и хордой AB. Из центра окружности проведен перпендикуляр CD к хорде, который делит ее пополам. Найдите угол AOB.
Решение. Из условия следует, что CD - радиус окружности. А по теореме, если радиус перпендикулярен хорде и делит ее пополам, то он делит пополам и дугу, на которую опирается хорда. Значит, ∠AOB - это половина дуги AB, то есть ∠AOB = 90°.
-
Даны две пересекающихся хорды AB и CD. Найдите отношение AE : EC, если AB = 16, а CD = 10.
Решение. По свойству пересекающихся хорд, AE * EB = EC * ED. Отсюда AE/EC = EB/ED = 16/10 = 8/5.
-
Какой длины может быть хорда окружности радиусом 13 см, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5 см?
Решение. Используем теорему Пифагора: AC^2 = AB^2 + BC^2 132 = AB2 + 52 AB = √164 = 12,8 см
Ответ: 12,8 см.
Как видно из примеров, знание свойств хорд позволяет решать довольно разнообразные задачи.
