Векторы широко используются в математике, физике, информатике для описания величин, имеющих направление. Умение складывать и вычитать векторы необходимо для решения многих прикладных задач.
Основные понятия и определения
Вектор - это направленный отрезок, характеризующийся не только длиной, но и направлением. Рассмотрим несколько базовых определений, связанных с векторами.
Если некоторая точка A является началом вектора a, то говорят, что он является отложенным от точки A.
Докажем следующую теорему:
От каждой точки можно отложить только один вектор, имеющий заданный модуль и направление.
Доказательство:
- Для нулевого вектора утверждение очевидно верно
- Построим вектор a от точки A и рассмотрим произвольную точку K
- Через K можно провести только одну прямую, параллельную a
- На этой прямой имеется один сонаправленный с a вектор того же модуля
Таким образом, от каждой точки может быть отложен только один вектор с заданными характеристиками.
Суммой двух векторов a и b называется вектор c, начинающийся в начале a и заканчивающийся в конце b.
Перейдем к ключевому понятию разности векторов.
Разностью двух векторов a и b называется вектор c, который при сложении с вычитаемым b дает вектор a.
Обозначается разность векторов так: a - b = c.
Аналитический способ
Аналитически разность векторов можно найти по координатам:
- В двумерном пространстве: c = {x1 - x2, y1 - y2}
- В трехмерном пространстве: c = {x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2}
Рассмотрим пример вычисления разности {1; 2} - {4; 8}:
- Запишем координаты исходных векторов
- Вычтем соответствующие координаты
- Получим разность {1 - 4; 2 - 8} = {-3; -6}
Аналогично можно найти разность трехмерных векторов по координатам. Этот способ удобен для вычислений, но не дает геометрического представления о разности.
Графические способы
Существует два основных графических способа нахождения разности векторов:
- Правило треугольника
- Использование противоположного вектора
Рассмотрим их подробнее.
По правилу треугольника нужно:
- Построить векторы a и b from одной точки
- Совместить конец b с началом a
- Соединить начало a с началом b
- Полученный вектор и есть искомая разность a - b
Второй способ заключается в следующем:
- Построить вектор a
- Отложить от конца a вектор, равный b, но направленный в противоположную сторону
- Разностью a - b будет вектор от начала a до конца вектора -b
Эти геометрические построения наглядно демонстрируют, какой вектор называется разностью двух векторов - это вектор, который в сумме с вычитаемым дает уменьшаемый.
Правило треугольника
Рассмотрим подробнее первый графический способ - правило треугольника. Здесь последовательность действий такова:
- В произвольной точке строим вектор a
- В конце вектора a строим начало вектора b
- Соединяем начало вектора a с началом вектора b
- Полученный вектор и есть разность a - b
Как видно, вектор c является "какой вектор называется разностью двух векторов" a и b, поскольку при сложении c и b получается a.
Использование противоположного вектора
Рассмотрим второй графический способ - с использованием противоположного вектора:
- Строим исходный вектор a
- Откладываем от конца вектора a противоположный по направлению вектор b той же длины
- Соединяем начало вектора a с концом вектора -b
- Полученный вектор и есть разность a - b
Это построение демонстрирует, "какой вектор называется" разностью - это такой вектор c, который в сумме с противоположным b дает исходный вектор a.
Выбор графического способа
Выбор метода зависит от конкретной задачи. Правило треугольника чаще используют, когда известны оба исходных вектора. Метод с противоположным вектором удобен, когда задан один вектор, а второй нужно найти.
Понимание того, "какой вектор называется разностью двух векторов" , необходимо при решении физических, геометрических, экономических задач. Рассмотрим конкретные примеры.
В кинематике разность скоростей двух тел равна изменению их относительной скорости. Это используется при расчетах движения встречных или попутных тел.
