Числовые ряды - важная тема высшей математики. Предельный признак сравнения позволяет эффективно исследовать сходимость рядов в практических задачах. Давайте разберемся с его применением на конкретных примерах.
1. Формулировка предельного признака сравнения рядов
Рассмотрим задачу исследования сходимости двух произвольных числовых рядов. Для начала дадим необходимые определения.
Числовой ряд - это бесконечная сумма вещественных чисел (членов ряда), обозначаемая так:
∑ an = a1 + a2 + ... + an + ...
Если все члены ряда неотрицательны, такой ряд называют положительным.
Теперь можно сформулировать предельный признак сравнения. Пусть даны два положительных числовых ряда:
- ∑ an
- ∑ bn
Если существует предел:
lim (an/bn) = K (0 ≤ K ≤ +∞)
то можно сделать вывод:
- если ряд ∑ bn сходится и 0 < K < +∞, то ∑ an тоже сходится;
- если ряд ∑ bn расходится и 0 ≤ K < +∞, то ∑ an тоже расходится.
Таким образом, сходимость или расходимость сравниваемых рядов в этом случае наступает одновременно.
Рассмотрим применение признака для рядов ∑(3n+1)/n и ∑1/n2. Второй ряд известно сходится. Вычислим отношение общих членов:
lim [(3n+1)/n] / [1/n2] = lim (3 + 1/n)·n = 3
Получено конечное число. Значит, первый ряд тоже сходится.
2. Признак сравнения рядов. Особенности применения признака
Предельный признак сравнения наиболее эффективен для исследования сходимости следующих видов числовых рядов:
- ряды с многочленами в числителе и/или знаменателе общего члена;
- степенные и показательные ряды.
При этом в качестве ряда для сравнения чаще всего выбирают:
- члены обобщенного гармонического ряда (1/n, 1/n2 и т.д.);
- члены обобщенного степенного ряда (1/nα).
Составлять отношение общих членов рядов можно в любом порядке:
an/bn или bn/an
Это не повлияет на результат применения признака.
В отличие от необходимого признака сходимости, здесь из устремления общего члена ряда к нулю еще нельзя делать вывод о сходимости ряда. Предельный же признак сравнения более силен, чем просто признак сравнения рядов.
Рассмотрим в качестве примера ряд, где многочлен находится под корнем:
∑ 1/√(n3 + 5n + 3)
Для сравнения возьмем сходящийся ряд ∑ 1/n3/2. Тогда:
lim [1/√(n3 + 5n + 3)] / [1/n3/2] = 1 ≠ 0
По признаку исследуемый ряд тоже сходится.
3. Признаки сравнения числовых рядов. Исследование отношения общих членов
Отношение общих членов сравниваемых рядов - ключевой элемент предельного признака сравнения. Поэтому очень важно правильно найти его предел, используя известные приемы.
Напомним, как раскрывать неопределенности типа 0/0 и ∞/∞ с помощью разложения многочленов в ряд Тейлора и применения теорем о среднем:
Пусть f(x) и g(x) - многочлены. Тогда:
lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x))
Если же многочлен находится только в числителе или только в знаменателе, предел отношения упрощается:
| Числитель | Знаменатель | Предел отношения |
| Многочлен | Константа b ≠ 0 | ± ∞ |
| Константа a ≠ 0 | Многочлен | 0 |
признак сравнения рядов примеры С многочленами под корнем часто приходится сложнее. Рассмотрим на конкретном примере.
Пусть дан ряд ∑√(2n4 - n)/n3. Выберем ряд ∑1/n5/4 и исследуем отношение:
lim [√(2n4 - n)/n3] / [1/n5/4]
Чтобы упростить выражение, нужно определить старшую степень многочлена под корнем. Для этого мысленно отбросим все члены, кроме старшего:
√(2n4) → 2n2
Теперь можно записать предел так:
lim (√2 · n)/n1/4 = √2 ≠ 0
Получено конечное отличное от нуля число. Значит, исследуемый ряд сходится.
4. Критерии выбора ряда для сравнения
Чтобы правильно применить предельный признак сравнения, нужно уметь подобрать подходящий ряд для сравнения с исследуемым рядом. Обычно это делают, ориентируясь на старшие степени многочленов в числителе и знаменателе общего члена.
Например, если в знаменателе стоит многочлен n3, а в числителе - n, то для сравнения логично взять ряд с членами вида 1/n4. То есть разность старших степеней сохраняется.
При этом если нужно доказать сходимость данного ряда, то в качестве ряда сравнения берут заведомо сходящийся ряд. И наоборот, чтобы показать расходимость, сравнивают с расходящимся рядом.
Если в ряде есть знакопеременные члены или минусы, признак все равно можно использовать, но придется быть аккуратнее с выбором ряда для сравнения.
Например, рассмотрим ряд с минусом под корнем: ∑1/√(n - 3n). Хотя старшая степень - n, но сравнивать с гармоническим рядом здесь не получится. Возьмем вместо него расходящийся ряд ∑1/√n.
5. Типичные ошибки при использовании признака
Несмотря на кажущуюся простоту формулировки, на практике предельный признак сравнения часто применяют с ошибками. Рассмотрим наиболее распространенные из них.
- Неверный подбор ряда для сравнения, не учитывающий старшие степени сравниваемых многочленов.
- Ошибки в исследовании предела отношения общих членов рядов из-за неправильного раскрытия неопределенностей.
- Применение признака к рядам, которые не удовлетворяют необходимым условиям (не являются положительными, не имеют конечного предела отношения общих членов).
- Некорректные выводы о сходимости или расходимости числовых рядов, противоречащие полученным в ходе решения результатам.
Разберем последний случай на конкретном примере. Пусть исследуется ряд ∑(n - n3)/n5. Для сравнения возьмем ряд ∑1/n4. Тогда предел отношения равен нулю. НО из этого нельзя сделать вывод, что данный ряд расходится! Правильное заключение: о сходимости или расходимости ряда из признака судить нельзя.
6. Практические советы по использованию признака
Чтобы научиться быстро и правильно применять предельный признак сравнения рядов, полезно придерживаться следующего пошагового алгоритма:
- Определить тип ряда и убедиться, что он удовлетворяет необходимым условиям.
- Выбрать подходящий ряд для сравнения и записать отношение общих членов.
- Найти предел отношения общих членов с помощью известных приемов.
- Сделать вывод о сходимости/расходимости сравниваемых рядов.
Полезные приемы на этапе выбора ряда и исследования предела:
- мысленно находить старшие степени многочленов;
- использовать тождественные преобразования для упрощения отношения;
- записывать только итоговое выражение для предела.
В ответе лучше явно указывать, является ли полученное значение предела конечным отличным от нуля числом или нет. И уже исходя из этого делать обоснованный вывод о сходимости рядов.
Рассмотрим применение всех этих полезных приемов для ряда ∑(2n + √n)/n2. Сравним его с рядом ∑1/n. Итоговый ответ должен выглядеть так:
7. Когда и зачем нужен предельный признак сравнения
Итак, мы разобрались с формулировкой, особенностями применения и типичными ошибками предельного признака сравнения рядов. Теперь резонно возникает вопрос: а в каких конкретно случаях имеет смысл использовать этот признак?
Во-первых, предельный признак сравнения - один из основных способов исследования сходимости степенных рядов по параметру. Именно с его помощью можно определить интервал сходимости таких рядов, подобрав граничное значение параметра.
Во-вторых, этот признак удобно применять для доказательства сходимости бесконечных рядов Тейлора и Фурье. Здесь он дает более простое и наглядное решение по сравнению с оценкой остаточного члена.
В-третьих, предельный признак сравнения гораздо мощнее необходимого признака сходимости и обычного признака сравнения. Поэтому его стоит использовать в тех случаях, когда другие признаки не дают однозначного ответа о сходимости ряда.
8. Преимущества предельного признака сравнения
К достоинствам предельного признака сравнения по сравнению с другими признаками сходимости можно отнести:
- Применим к широкому классу рядов со степенными и многочленными членами.
- Позволяет исследовать сходимость сразу двух рядов.
- Дает однозначный ответ о сходимости в отличие от необходимого признака.
- Не требует выполнения неравенства на каждом шаге, как в признаке сравнения.
Таким образом, этот критерий сходимости является универсальным и мощным инструментом при работе с числовыми рядами.
9. Перспективы дальнейшего изучения теории рядов
После того, как вы разобрались с основными моментами применения предельного признака сравнения, можно переходить к более глубокому изучению теории рядов.
В частности, предстоит подробно разобраться со сходимостью функциональных рядов - степенных, тригонометрических и других. Здесь тоже активно применяют рассмотренный нами признак, поэтому база уже заложена.
Другое перспективное направление - это теория двойных и тройных рядов. После того как мы научились исследовать сходимость обычных рядов, можно переходить к более общим конструкциям.
Также предстоит изучить различные признаки Абеля и Дирихле. Они тоже основаны на сравнении рядов, поэтому знание предельного признака сравнения значительно облегчит их усвоение.
