Дроби - неотъемлемая часть школьной программы по математике. Умение упрощать дроби пригодится для решения многих задач из курса алгебры и начал анализа. Кроме того, знание основ работы с дробями полезно в повседневной жизни - при планировании бюджета, расчете ингредиентов для выпечки или разделе наследства. Эта статья - подробное руководство по упрощению разных типов дробей.
Основы упрощения дробей
Дробь - это отношение части к целому. Она состоит из двух частей:
- Числитель - верхняя часть дроби, обозначает размер части.
- Знаменатель - нижняя часть, показывает, на сколько частей разделено целое.
Существуют обыкновенные дроби (2/3, 5/7), смешанные дроби (21⁄4), неправильные дроби (5/3).
Дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя, неправильной - если больше. Упрощение дробей означает приведение дроби к простейшему виду за счет деления числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель (НОД).
Зачем упрощать дроби?
Во многих случаях имеет смысл записать дробь в упрощенном виде:
- Простая дробь легче для понимания и дальнейших вычислений.
- Уменьшаются объемы записи и вероятность ошибки.
- НОД на делителей не раскладывается, так проще найти значение.
Стоит отметить, что в некоторых случаях сокращать дробь нет смысла или даже вредно - например, в банковской отчетности.
Алгоритм упрощения дроби
- Найти НОД числителя и знаменателя дроби.
- Разделить числитель и знаменатель на НОД.
Пример. Упростим дробь 12⁄18.
НОД(12;18) = 6. Делим числитель и знаменатель на 6: 12⁄18 = 2⁄3.
Упрощение дробей состоит из двух этапов: сокращение дробей и приведение к общему знаменателю. Рассмотрим каждый шаг подробнее.
Сокращение дробей
Это приведение дроби к простейшему виду путем деления числителя и знаменателя на их НОД. В результате этого действия значение дроби не меняется, но запись становится компактнее.
Пошаговый алгоритм сокращения дроби:
- Найти НОД числителя и знаменателя.
- Разделить числитель и знаменатель на НОД.
НОД двух чисел можно найти с помощью алгоритма Евклида. Для небольших чисел проще перебрать все делители.
| Исходная дробь | 32/48 |
| НОД числителя и знаменателя | НОД(32;48) = 16 |
| Делим оба числа на НОД | 32/48 = 2/3 |
Таким образом, сократив дробь 32/48, получаем эквивалентную ей дробь 2/3. Эта запись проще и нагляднее.
Приведение к общему знаменателю
Если нужно выполнить арифметические операции над дробями (сложение, вычитание, умножение, деление), то сначала их приводят к общему знаменателю. Это делается по такому алгоритму:
- Найти НОК знаменателей всех дробей.
- Привести каждую дробь к этому общему знаменателю.
Для приведения дроби к новому знаменателю нужно:
- Умножить числитель исходной дроби на такое число, чтобы при умножении знаменателя получился нужный общий знаменатель.
- Записать полученный результат.
Например, нужно сложить дроби 1/2 и 3/4:
- НОК(2;4) = 4
- Приводим первую дробь: 1/2 → 2/4
- Вторая уже имеет нужный знаменатель 4
Теперь, когда знаменатели дробей одинаковые, можно выполнять сложение: 2/4 + 3/4 = 5/4
Решение упражнений на упрощение дробей
Отработать навык упрощения дробей помогут специальные упражнения. Рассмотрим наиболее типичные виды задач.
Пример 1
Упростите дробь 18/24.
Решение:
- НОД(18;24) = 6
- Делим числитель и знаменатель на 6: 18/24 = 3/4
Ответ: 3/4.
Пример 2
Упростите смешанную дробь 52⁄36.
Решение:
- Приводим к неправильной дроби: 52⁄36 = 17/6
- НОД(17;6) = 1, упростить нельзя
Ответ: 17/6.
Пример 3
Упростите выражение: (3x + 6)/(18 - 9x)
Решение:
- Раскрываем скобки в знаменателе: (3x + 6)/(9 - 9x)
- НОД числителя и знаменателя многочлены, для упрощения их нужно разложить на множители. Получаем: (3·x·2)/9·(1 - x)
- Сокращаем на общий множитель 3: (x·2)/(3·(1 - x))
Ответ: (x·2)/(3·(1 - x))
