Прямоугольная система координат - удобный математический аппарат для определения положения объектов на плоскости или в пространстве. Она позволяет решать множество задач из разных областей науки и техники. Давайте разберемся в ее устройстве и возможностях.
История возникновения прямоугольной системы координат
Первые попытки ввести систему координат предпринимались еще в античные времена. Древнегреческие ученые Анаксимандр и Гиппарх использовали прямоугольные проекции и числовые обозначения для определения положения объектов на Земле и на небесной сфере.
Но основная заслуга в создании современной прямоугольной системы координат принадлежит выдающемуся французскому математику и философу Рене Декарту. Интересная история привела его к этой идее. Во время посещения театров в Париже Декарт столкнулся с постоянной путаницей в нумерации зрительских мест. Это нередко приводило к конфликтам и даже дуэлям между посетителями.
Декарт предложил простую систему обозначения каждого кресла двумя координатами: номером ряда и номером места. Это произвело фурор и решило проблему.
В своих работах «Рассуждение о методе» (1637 г.) и «Геометрия» (1637 г.) Декарт впервые научно описал прямоугольную систему координат на плоскости и заложил основы аналитической геометрии. Значительный вклад в развитие теории также внес его соотечественник Пьер Ферма. А Леонард Эйлер в 18 веке распространил ее на трехмерное пространство.
Устройство прямоугольной системы координат на плоскости
Прямоугольная система координат на плоскости состоит из двух взаимно перпендикулярных числовых осей:
- горизонтальной оси абсцисс Ox;
- вертикальной оси ординат Oy.
Они пересекаются в начале координат O. На каждой оси выбирается положительное направление (вправо и вверх) и единичный отрезок для измерения координат.
Оси делят плоскость на 4 части - координатные четверти, которые нумеруются римскими цифрами против часовой стрелки:
I, II, III, IV.
Для определения координат точки A на плоскости из этой точки опускают перпендикуляры на оси координат. Точки их пересечения с осями М и N будут иметь координаты x и y. Эта пара чисел (x, y) и есть искомые координаты точки A.
Координаты записывают в скобках - сначала абсцисса x, затем ордината y: (x, y). Если точка лежит на оси Oy, ее абсцисса равна 0. А если точка лежит на оси Ox, то ордината = 0.
Работа с координатами точек на прямых и плоскости
Как мы выяснили ранее, каждой точке на прямой соответствует одно действительное число - ее координата x. А каждой точке плоскости в прямоугольной системе координат соответствует упорядоченная пара чисел (x, y) - ее координаты.
При этом существуют определенные правила записи координат:
- первой всегда указывают координату x (абсциссу), затем y (ординату);
- координаты заключаются в круглые скобки;
- точки на осях координат также имеют пары координат с нулем.
Рассмотрим задачу на определение координат точек на плоскости. На рисунке изображена прямоугольная система координат на плоскости с пронумерованными точками. Требуется записать координаты этих точек.
Решение:
- Точка 1: x = -2, y = 3; координаты (–2, 3).
- Точка 2 лежит на оси Ox, поэтому: x = 5, y = 0; координаты (5, 0).
- Точка 4 лежит на оси Oy, значит ее абсцисса равна 0. А ордината равна -3. Координаты точки 4: (0, -3).
Как видно из примера, координаты позволяют достаточно просто и наглядно задавать положение любых точек на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат.
Операции над векторами в прямоугольных координатах
Система плоских прямоугольных координат обладает важным преимуществом при работе с векторами. Вектор задается координатами своего начала и конца. А все действия с векторами сводятся к простым операциям над этими координатами.
Рассмотрим основные операции:
- Сложение векторов производится по координатам путем сложения соответствующих координат векторов:
- Вычитание векторов аналогично с использованием вычитания координат
Также в декартовой системе координат очень просто вычисляются скалярное и векторное произведения векторов, благодаря разложению их по базисным векторам.
Расширение системы координат на 3 измерения
Изначально прямоугольная система координат применялась только на плоскости с двумя осями X и Y. В 18 веке Леонард Эйлер предложил добавить третью ось Z, названную осью аппликат. Это позволило описывать объекты уже в трехмерном пространстве.
Координаты точки в пространстве записывают тройкой чисел (x, y, z). Три координатных плоскости делят пространство на 8 областей - октантов.
Обобщение на многомерный случай
Система плоских прямоугольных координат может быть обобщена на произвольную размерность. Вместо двух или трех осей вводится n базисных ортов - векторов, задающих направления координатных осей в n-мерном пространстве.
Существуют правые и левые системы координат в зависимости от взаимной ориентации осей. Это важно для корректного определения векторного произведения.
Применение прямоугольной системы координат
Прямоугольная декартова система координат широко используется в различных областях:
- В аналитической геометрии для исследования геометрических фигур;
- В математическом анализе при работе с функциями;
- Для задания положения объектов в пространстве;
- В физике при описании векторных величин и т.д.
Благодаря простоте и наглядности, эта система координат стала незаменимым математическим инструментом во многих областях.
