Параллельные прямые - одна из фундаментальных тем школьного курса геометрии. Без глубокого понимания свойств параллельных прямых невозможно решать множество задач и доказывать важнейшие теоремы. Давайте разберемся с этой темой подробно и основательно. А также рассмотрим несколько реальных задач и их примеры.
Понятие параллельных прямых
Параллельными называются две прямые на плоскости, которые расположены в одной плоскости и не имеют общих точек, как бы далеко их ни продолжать. Обозначаются параллельные прямые так:
a || b
Читается: прямая а параллельна прямой b.
Впервые понятие параллельных прямых появляется в трудах древнегреческого математика Евклида, жившего в 3 веке до н.э. Именно Евклид сформулировал пятый постулат, ставший впоследствии знаменитой «аксиомой параллельности»: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной». Этот постулат вызывал множество споров на протяжении столетий.
В 19 веке Н.И. Лобачевский доказал, что существуют и другие геометрии, в которых аксиома параллельности не выполняется. Однако в школьном курсе мы придерживаемся «классической» евклидовой геометрии, где параллельные прямые определяются именно так, как описано выше.
Когда две параллельные прямые пересекает третья прямая (называемая секущей), образуется несколько углов. Эти углы принято классифицировать следующим образом:
- Накрест лежащие углы - углы, расположенные по разные стороны от секущей
- Односторонние углы - углы, расположенные по одну сторону от секущей
- Соответственные углы - углы, расположенные в одинаковых «соответственных» местах у точек пересечения
Знание свойств этих углов крайне важно для изучения параллельных прямых. Давайте перейдем к рассмотрению этих свойств.
Свойства параллельных прямых
Основным результатом при изучении параллельных прямых является теорема об их свойствах. Давайте сформулируем ее:
Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:
- Накрест лежащие углы равны
- Односторонние углы в сумме дают 180°
- Соответственные углы равны
Доказательство этой важной теоремы мы пропустим, а сразу перейдем к рассмотрению следствий из нее.
Итак, первое следствие: накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. На рисунке это означает, что:
∠3 = ∠5
∠4 = ∠6
Второе важное свойство: сумма любых двух внутренних односторонних углов равна 180°:
∠3 + ∠6 = 180°
∠4 + ∠5 = 180°
И наконец, третье свойство: соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей равны:
∠1 = ∠5
∠2 = ∠6
∠3 = ∠7
∠4 = ∠8
Таковы основные свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей. Знание этих свойств крайне полезно при решении многочисленных задач на вычисление углов и доказательство различных утверждений в геометрии.
Признаки параллельности прямых
Наряду со свойствами параллельных прямых, важно знать и признаки, по которым можно определить, что две прямые являются параллельными. Рассмотрим основные признаки параллельности.
Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей:
- Накрест лежащие углы равны
- Соответственные углы равны
- Сумма внутренних односторонних углов равна 180°
То можно сделать вывод, что прямые параллельны.
Доказательство этой теоремы опустим. Отметим лишь, что достаточно выполнения хотя бы одного из этих признаков, чтобы утверждать параллельность прямых. Рассмотрим признаки подробнее.
Равенство накрест лежащих углов
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы оказались равны (∠3 = ∠5 и ∠4 = ∠6), то прямые параллельны. Это очень часто используемый на практике признак параллельности.
Равенство соответственных углов
Еще один распространенный признак - равенство соответственных углов (∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6 и т.д.). Он тоже позволяет утверждать, что прямые, образующие эти углы, являются параллельными.
Сумма односторонних углов равна 180°
Если сумма любых двух внутренних односторонних углов равна 180° (∠3 + ∠6 = 180° или ∠4 + ∠5 = 180°), это указывает на параллельность прямых.
Таким образом, зная угловые свойства при пересечении прямых секущей, можно делать вывод о параллельности самих прямых. Эти признаки часто используются на практике.
Решение задач на параллельные прямые
Для закрепления материала о параллельных прямых очень важно научиться применять полученные знания при решении задач. Рассмотрим примеры различных типов задач на эту тему.
Задача 1
Даны две пересекающиеся прямые a и b. Третья прямая c пересекает прямые a и b, при этом ∠1 = 80°, ∠3 = 100°. Докажите, что прямые a и b параллельны.
Решение:
Имеем: ∠1 = 80°, ∠3 = 100° (накрест лежащие углы). Так как эти углы равны, по признаку параллельности следует, что прямые a и b параллельны.
Задача 2
Отрезки AB и CD пересекаются в точке О. Известно, что ∠AOC = 50°, ∠BOD = 130°. Найдите ∠AOD.
Решение:
По условию: ∠AOC = 50°, ∠BOD = 130°. Так как ∠AOC + ∠BOD = 180°, а эти углы являются внутренними односторонними, то отрезки AB и CD параллельны. По свойству параллельных прямых ∠AOD = ∠AOC = 50°.
Ответ: 50°.
Задача 3
Через точку M, не лежащую на прямой a, проведены прямые b и c так, что они образуют с прямой a углы, равные соответственно 40° и 80°. Докажите, что прямые b и c параллельны прямой а.
Решение:
Пусть b пересекает прямую a в точке A, а c пересекает a в точке B. Тогда по условию ∠MAB = 40°, ∠MBA = 80°. Но ∠MAB и ∠MBA - соответственные углы (лежат при вершинах A и B). Так как соответственные углы равны, по признаку параллельности следует, что b || a и c || a.
Таким образом, задачи на параллельные прямые решаются с использованием изученных свойств и признаков. Потренируйтесь в решении таких задач!
Параллельные прямые в доказательствах
Свойства и признаки параллельных прямых широко используются не только в задачах на вычисление, но и при доказательстве различных утверждений и теорем геометрии. Рассмотрим примеры.
Пример 1
Дан четырехугольник ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Докажите, что если одна пара противолежащих углов четырехугольника равна (∠BAD = ∠DCB), то четырехугольник - параллелограмм.
Решение:
По условию ∠BAD = ∠DCB. Заметим, что эти углы накрест лежащие, образованные при пересечении сторон четырехугольника AC и BD. Следовательно, по признаку параллельности AC || BD. А так как в параллелограмме диагонали взаимно параллельны, то ABCD - параллелограмм.
Пример 2
В треугольнике ABC проведены биссектрисы BE и CF, пересекающиеся в точке O. Докажите, что ∠EBF = ∠EFC.
Решение:
Поскольку BE - биссектриса, ∠ABE = ∠OBE. Аналогично, CF - биссектриса, значит ∠CFC = ∠OCF. Но углы при вершине O соответственно равны, как вертикальные. По признаку параллельности BE || FC. Отсюда, по свойству параллельных, ∠EBF = ∠EFC.
Таким образом, умелое использование свойств и признаков параллельных прямых позволяет проводить доказательства геометрических утверждений. Это очень важный навык, который следует развивать при изучении геометрии.
