Диагонали играют важную роль в изучении свойств прямоугольника. Они обладают рядом уникальных особенностей, позволяющих решать многие задачи геометрии. В частности, диагонали делят углы прямоугольника пополам, а также делятся сами на равные части в точке пересечения.
Эти свойства диагоналей тесно связаны между собой и помогают найти длины отрезков, величины углов и другие параметры прямоугольника. Знание особенностей диагоналей часто используется при решении задач ЕГЭ по геометрии.
Диагонали делят углы прямоугольника пополам
Одним из важных свойств диагоналей прямоугольника является то, что они делят его углы пополам. Это означает, что если провести диагональ через угол прямоугольника, то она разделит его на два равных угла.
Докажем этот факт. Пусть ABCD - прямоугольник. Проведем в нем диагональ BD. Она делит угол ABC на два угла - ABD и DBC. Докажем, что эти углы равны.
В треугольниках ABD и DBC угол ABD = углу DBC, так как они вертикальные. Угол ABD + угол BDA = 180°, так как сумма углов треугольника равна 180°.
То же самое можно сказать о треугольнике DBC: угол DBC + угол BCD = 180°.
Но угол BDA = углу BCD, потому что они прямые. Значит, угол ABD = углу DBC. Таким образом, диагональ BD делит угол ABC пополам.
Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам
Еще одним важным свойством диагоналей прямоугольника является то, что они равны между собой и делятся точкой пересечения пополам. Это свойство вытекает из определения прямоугольника и теоремы о свойствах его диагоналей.
Давайте докажем, что диагонали прямоугольника равны. Пусть ABCD - прямоугольник. Тогда по определению прямоугольника его противоположные стороны попарно равны: AB = CD и AD = BC. Теперь проведем диагонали AC и BD, они соединяют противоположные вершины.
Рассмотрим два треугольника ABD и CDB, образованные диагоналями. В этих треугольниках:
- Угол ADB = углу CDB как вертикальные.
- AB = CD по условию, что противоположные стороны прямоугольника равны.
- Угол ABD = углу CDB как острые углы при основании равнобедренного треугольника.
По признаку равенства треугольников, если в двух треугольниках равны две стороны и угол между ними, то такие треугольники равны. Значит, треугольники ABD и CDB равны. Следовательно, их третьи стороны тоже равны, то есть AD = BC.
Но AD и BC - это диагонали прямоугольника. Значит, диагонали прямоугольника равны. Это доказывает первое утверждение.
Теперь докажем, что диагонали делятся точкой пересечения O пополам. В тех же треугольниках ABD и CDB мы уже выяснили, что AB = CD и AD = BC. Кроме того, эти треугольники равны.
Значит, соответственные стороны, образующие эти треугольники, тоже равны: AO = CO и OD = OB. Но отрезки AO и OD - это половины диагоналей AC и BD. Получаем, что каждая диагональ делится пополам точкой пересечения O.
Таким образом, мы доказали, что диагонали прямоугольника обладают двумя свойствами: они равны между собой и делятся пополам точкой пересечения.
Применение свойств диагоналей при решении задач ЕГЭ
Диагонали прямоугольника обладают важными свойствами, знание которых позволяет решать задачи повышенной сложности на экзамене. Рассмотрим применение этих свойств на конкретных примерах задач ЕГЭ.
Задача 1. Диагональ прямоугольника ABCD делит угол B на углы в отношении 1:3. Найдите отношение сторон BC и CD, если BC = 5 см.
Решение. Поскольку диагональ BD делит угол B пополам, то ∠ABD = ∠DBC. Из условия задачи ∠DBC:∠ABD = 3:1. Значит, ∠DBC = 3x, а ∠ABD = x. По теореме о внешнем угле треугольника: ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = x + 3x = 4x. Но ∠ABC = 90°, значит 4x = 90° и x = 22,5°. Тогда BC:CD = 5:CD = 5:5·tg(22,5°) = 1:2,2. Ответ: 1:2,2.
Таким образом, зная, что диагональ делит углы пополам, по заданному отношению одного из углов можно найти отношение сторон.
| Свойство диагоналей | Применение при решении задач ЕГЭ |
| Диагонали делят углы пополам | Позволяет найти отношение сторон по отношению углов |
Также при решении задач ЕГЭ полезно использовать свойство равенства отрезков, на которые диагональ делит стороны прямоугольника. Это помогает, например, вычислить длину диагонали.
Связь диагоналей прямоугольника с его сторонами и углами
Диагонали прямоугольника тесно связаны с его сторонами и углами. Рассмотрим основные зависимости:
- Длина диагонали прямоугольника выражается через длины его сторон по теореме Пифагора, так как треугольник, образованный диагональю и сторонами прямоугольника, является прямоугольным. Например, если стороны прямоугольника равны a и b, то длина диагонали d = √(a2 + b2).
- Углы, на которые диагональ делит противолежащие углы прямоугольника, в сумме дают эти противолежащие углы. Например, если диагональ делит угол A пополам, то ∠BAD + ∠DAB = ∠A.
- Острые углы при основании треугольников, образованных диагональю и сторонами прямоугольника, равны. То есть ∠ABD = ∠CDB, если ABCD - прямоугольник. Это следует из равенства треугольников ABD и CDB.
- Диагонали вместе с противоположными сторонами образуют подобные треугольники. Например, в прямоугольнике ABCD треугольники ABD ∼ CAD.
- Отношение длин сторон прямоугольника равно отношению длин отрезков на противоположной стороне, отсекаемых диагональю. То есть если ABCD - прямоугольник, AD:DB = AB:BC.
Таким образом, зная свойства диагоналей прямоугольника, можно установить множество полезных соотношений между элементами прямоугольника, что важно использовать при решении геометрических задач.
