В данном материале мы продолжим рассказывать о том, как преобразовывать рациональные выражения, а конкретно о том, как правильно выносить множитель из-под знака корня.
В первом пункте объясним, зачем нужно такое преобразование, далее покажем, как именно оно делается и сформулируем общее для всех случаев правило.
Далее покажем, какие существуют методы, чтобы привести подкоренное выражение к удобному для преобразования виду, и разберем примеры решений задач.
Число под знаком корня
Чтобы вынести число из-под знака корня, нужно разложить его на множители. Например, чтобы вынести множитель из выражения «вынесите множитель под знак корня», запишем: √36 = √(94) = 3√4. То есть сначала разложили 36 на произведение двух множителей, 9 и 4, а затем вынесли из-под корня множитель 9, получив 3√4.
Для вынесения множителя из-под корня часто используют разложение числа на простые сомножители. Например, выражение 72√50 можно представить как 72√(255) = 72√2√5√5, откуда √2 можно вынести из-под корня. Также полезно помнить некоторые «корни» наизусть, например √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4. Это позволит быстрее выносить множители.
Еще один полезный прием - вынесение дроби из-под корня. Например, если нужно упростить выражение √0,64, можно записать: √0,64 = √(0,8*0,8) = 0,8√0,8. Здесь использовано то, что квадрат числа 0,8 равен 0,64. Подобный прием часто применяется на практике.
Буква или переменная
Чтобы вынести букву или переменную из-под знака корня, нужно воспользоваться свойствами степеней. Например, рассмотрим выражение √x^6. Используя свойство степени «вынесите множитель под знак корня», можем записать: √x^6 = √(x^2)^3 = x^3. Здесь s^6 представлено как произведение степеней s^2 и s^3, после чего s^3 вынесено за знак корня.
Похожим образом можно выносить переменные, возведенные не только в целую степень. Например: √x^3√x = √(x^(3/2))√(x^(1/2)) = x^(3/2+1/2) = x^2. Здесь использовано свойство произведения корней. Сначала представили выражение как произведение корней, а затем применили свойство суммы показателей степени.
Возможно и вынесение нескольких переменных из-под одного корня. Рассмотрим пример: √x^2y^4z^6. С помощью тех же приемов получаем: √x^2y^4z^6 = √(x^2)(y^4)(z^6) = xy^2z^3. Здесь каждая степень разложена на произведение, после чего вынесены множители x, y^2 и z^3.
Обратите внимание, если под знаком корня стоит отрицательное число или переменная может принимать отрицательные значения, то прямое вынесение множителей невозможно. В таких случаях применяют дополнительные приемы преобразования выражений.
Дробь под знаком корня
Чтобы упростить выражение с дробью под знаком корня, удобно представить это выражение в виде произведения двух множителей. Например, нужно вынести множитель из выражения √(3/4). Запишем: √(3/4) = √(3/4 * 4/4) = √(3/16) = (√3)/(4). Здесь использовано, что 4/4 = 1, после чего один из множителей вынесен из-под корня в виде обычной дроби.
Похожим образом можно выносить множители из более сложных выражений, содержащих иррациональности. Рассмотрим пример: √(5/√2). Преобразуем: √(5/√2) = √(5/√2) * (√2/√2) = (√10)/(2). Здесь знаменатель дроби умножен на √2, что позволило вынести √2 из под корня.
Если под корнем стоят несколько дробей, применяется тот же метод: √(1/2) * √(1/4). Пишем: √(1/2) * √(1/4) = √(1/2 * 1/4) = √(1/8) = 1/2√2. Сначала дроби перемножены, затем числитель вынесен из-под корня в виде целого числа.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Square_root_of_i.svg/768px-Square_root_of_i.svg.png Квадратный корень из мнимой единицы
Особого внимания требуют выражения типа √(-1/4). Здесь нельзя выносить множители, так как под знаком корня стоит отрицательное число. Вместо этого используют комплексные числа и правила действий над ними.
Типичные ошибки начинающих
Одна из распространенных ошибок при работе со знаком корня - неправильное вынесение отрицательных чисел. Например, в выражении √-36 нельзя просто записать ответ как 6√-1. Это приведет к неверному результату при дальнейших вычислениях.
Вместо этого, с отрицательными числами под корнем следует использовать метод комплексных чисел. То есть √-36 нужно записать как 6i, где i - мнимая единица. Лишь после этого можно выносить множители из-под знака корня в виде комплексных чисел.
Еще одна распространенная ошибка - неверное применение свойств степеней. Например, в выражении √x^4 нельзя сразу записать ответ как x^2, так как формально нарушается правило «вынесите множитель под знак корня». Сначала нужно представить степень x^4 как произведение (x^2)^2, а уже после этого выносить множитель x^2.
Еще одна типичная ошибка - это неверное обращение со знаками при вынесении множителей. Например, выражение √(x^2 * (-y^2) * z^2) нельзя сразу записать как xyz. Сначала нужно вынести по модулю значения |y| и |z|, а уже после этого ставить минус перед y.
