Как выводится производная косинуса

Производная косинуса находится по аналогии с производной синуса, основа доказательства ― определение предела функции. Можно воспользоваться другим способом, используя тригонометрические формулы приведения для косинуса и синуса углов. Выразить одну функцию через другую - косинус через синус, и продифференцировать синус со сложным аргументом.

Производная косинуса

Рассмотрим первый пример вывода формулы (Cos(х))'

Даем ничтожно малое приращение Δх аргументу х функции у = Cos(х). При новом значении аргумента х+Δх получаем новое значение функции Cos(х+Δх). Тогда приращение функции Δу будет равно Cos(х+Δx)-Cos(x).
Отношение же приращения функции к Δх будет таким: (Cos(х+Δx)-Cos(x))/Δх. Проведем тождественные преобразования в числителе получившейся дроби. Вспомним формулу разности косинусов углов, результатом будет произведение -2Sin(Δх/2) умножить на Sin(х+Δх/2). Находим предел частного lim этого произведения на Δх при Δх, стремящемся к нулю. Известно, что первый (его называют замечательным) предел lim(Sin(Δх/2)/(Δх/2)) равен 1, а предел -Sin(х+Δх/2) равен -Sin(x) при Δx, стремящемся к нулю.
Запишем результат: производная (Cos(х))' равна - Sin(х).

Некоторым больше нравится второй способ вывода той же формулы

Из курса тригонометрии известно: Cos(х) равно Sin(0,5·∏-х), аналогично Sin(х) равно Cos(0,5·∏-x). Тогда дифференцируем сложную функцию - синус дополнительного угла (вместо косинуса икс).
Получим произведение Cos(0,5·∏-х)·(0,5·∏-х)', потому что производная синуса х равна косинусу х. Обращаемся ко второй формуле Sin(х) = Cos(0,5·∏-x) замены косинуса на синус, учитываем, что (0,5·∏-х)' = -1. Теперь получаем -Sin(x).
Итак, найдена производная косинуса, у' = -Sin(х) для функции у = Cos(х).

Производная косинуса в квадрате

Производная косинуса в квадрате

Часто используемый пример, где употребляется производная косинуса. Функция y = Cos2(x) сложная. Находим сначала дифференциал степенной функции с показателем 2, это будет 2·Cos(x), затем умножаем его на производную (Cos(x))', которая равна -Sin(х). Получаем y' = -2·Cos(х)·Sin(x). Когда применим формулу Sin(2·х), синуса двойного угла, получим окончательный упрощенный
ответ y' = -Sin(2·х)

Гиперболические функции

Применяются при изучении многих технических дисциплин: в математике, например, облегчают вычисления интегралов, решение дифференциальных уравнений. Выражаются они через тригонометрические функции с мнимым аргументом, так, гиперболический косинус ch(х) = Cos(i·х), где i ― мнимая единица, гиперболический синус sh(x) = Sin(i·x). 

Производная гиперболического косинуса
Производная гиперболического косинуса вычисляется достаточно просто.
Рассмотрим функцию у = (ex+e-x)/2, это и есть гиперболический косинус ch(х). Используем правило нахождения производной суммы двух выражений, правило выноса постоянного множителя (Const) за знак производной. Второе слагаемое 0,5·е ― сложная функция (ее производная равна -0,5·е), 0,5·ех― первое слагаемое.            (ch(х)) '=((eх+e-x)/2)' можно записать по другому: (0,5·eх+0,5·е-х)' = 0,5·eх-0,5·e-х, потому что производная (e-x)' равна -1, умнноженная на  e-x. Получилась разность, а это есть гиперболический синус sh(x).
Вывод: (ch(х))' = sh(x).
Рассмитрим на примере, как вычислить производную функции у = ch(x3+1).
По правилу дифференцирования гиперболического косинуса со сложным аргументом у' = sh(x3+1)·(x3+1)', где (x3+1)' = 3·x2+0.
Ответ: производная данной функции равна 3·х2·sh(х3+1).

Производные рассмотренных функций у = ch(х) и y = Cos(х) табличные

При решении примеров нет необходимости каждый раз дифференцировать их по предложенной схеме, достаточно использовать вывод.
Пример. Продифференцировать функцию у = Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5·х).
Легко вычислить (воспользуемся табличными данными), у' = -Sin(x)+Sin(2·х)-5·Sh(5·х).

Статья закончилась. Вопросы остались?
Комментарии 0
Подписаться
Я хочу получать
Правила публикации
Редактирование комментария возможно в течении пяти минут после его создания, либо до момента появления ответа на данный комментарий.