В предложенной вашему вниманию статье мы предлагаем примеры математических моделей. Кроме этого, мы обратим внимание на этапы создания моделей и разберем некоторые задачи, связанные с математическим моделированием.
Еще один наш вопрос – это математические модели в экономике, примеры, определение которых мы рассмотрим немного позже. Начать наш разговор мы предлагаем с самого понятия «модель», кратко рассмотрим их классификацию и перейдем к основным нашим вопросам.
Понятие «модель»
Мы часто слышим слово «модель». Что же это такое? Данный термин имеет множество определений, вот только три из них:
- специфический объект, который создается для получения и хранения информации, отражающий некоторые свойства или характеристики и так далее оригинала данного объекта (этот специфический объект может выражаться в разной форме: мысленный, описание при помощи знаков и так далее);
- еще под моделью подразумевается отображение какой-либо конкретной ситуации, жизненной или управленческой;
- моделью может служить уменьшенная копия какого-либо объекта (они создаются для более подробного изучения и анализа, так как модель отражает структуру и взаимосвязи).
Исходя из всего, что было сказано ранее, можно сделать небольшой вывод: модель позволяет подробно изучить сложную систему или объект.
Все модели можно классифицировать по ряду признаков:
- по области использования (учебные, опытные, научно-технические, игровые, имитационные);
- по динамике (статические и динамические);
- по отрасли знаний (физические, химические, географические, исторические, социологические, экономические, математические);
- по способу представления (материальные и информационные).
Информационные модели, в свою очередь, делятся на знаковые и вербальные. А знаковые - на компьютерные и некомпьютерные. Теперь перейдем к подробному рассмотрению примеров математической модели.
Математическая модель
Как не трудно догадаться, математическая модель отражает какие-либо черты объекта или явления при помощи специальных математических символов. Математика и нужна для того, чтобы моделировать закономерности окружающего мира на своем специфическом языке.
Метод математического моделирования зародился достаточно давно, тысячи лет назад, вместе с появлением данной науки. Однако толчок для развития данного способа моделирования дало появление ЭВМ (электронно-вычислительных машин).
Теперь перейдем к классификации. Ее так же можно провести по некоторым признакам. Они представлены в таблице ниже.
Классификация по отрасли науки | Применение математических моделей в физике, социологии, химии и так далее |
По математическому аппарату, который используется в процессе моделирования | Модели на основе дифференциальных уравнений, дискретных алгебраических преобразований и тому подобное |
По целям моделирования | Согласно данному принципу, выделяют описательные, оптимизационные, многокритериальные, игровые и имитационные модели |
Мы предлагаем остановиться и подробнее рассмотреть последнюю классификацию, так как она отражает общие закономерности моделирования и цели создаваемых моделей.
Дескриптивные модели
В данной главе мы предлагаем остановиться подробнее на дескриптивных математических моделях. Для того чтобы было все предельно понятно, будет приведен пример.
Начнем с того, что этот вид можно назвать описательным. Это связано с тем, что мы просто делаем расчеты и прогнозы, но никак не можем повлиять на исход события.
Ярким примером описательной математической модели является вычисление траектории полета, скорости, расстояния от Земли кометы, которая вторглась в просторы нашей Солнечной системы. Эта модель является описательной, так как все полученные результаты могут только предупредить нас о какой-либо опасности. Повлиять на исход события, увы, мы не можем. Однако, основываясь на полученных расчетах, можно предпринять какие-либо меры для сохранения жизни на Земле.
Оптимизационные модели
Сейчас мы немного поговорим об экономико-математических моделях, примерами которых могут служить разные сложившиеся ситуации. В данном случае речь идет о моделях, которые помогают найти верный ответ в определенных условиях. Они обязательно имеют некие параметры. Чтобы стало предельно понятно, рассмотрим пример из аграрной части.
У нас есть зернохранилище, но зерно очень быстро портится. В этом случае нам необходимо правильно подобрать температурный режим и оптимизировать процесс хранения.
Таким образом, мы можем дать определение понятию «оптимизационная модель». В математическом смысле это система уравнений (как линейных, так и нет), решение которой помогает найти оптимальное решение в конкретной экономической ситуации. Пример математической модели (оптимизационной) мы рассмотрели, но хочется еще добавить: данный вид относится к классу экстремальных задач, они помогают описать функционирование экономической системы.
Отметим еще один нюанс: модели могут носить разный характер (см. таблицу ниже).
детерминированный | В данном случае результат зависит от входных данных |
стохастический | Описание случайных процессов. В данном случае результат остается неопределенным |
Многокритериальные модели
Сейчас предлагаем вам поговорить немного о математической модели многокритериальной оптимизации. До этого мы привели пример математической модели оптимизации процесса по какому-либо одному критерию, но что делать, если их много?
Ярким примером многокритериальной задачи служит организация правильного, полезного и одновременно экономного питания больших групп людей. С такими задачами часто встречаются в армии, школьных столовых, летних лагерях, больницах и так далее.
Какие критерии нам даны в данной задаче?
- Питание должно быть полезным.
- Расходы на пищу должны быть минимальными.
Как видите, эти цели совсем не совпадают. Значит, при решении задачи необходимо искать оптимальное решение, баланс между двумя критериями.
Игровые модели
Говоря об игровых моделях, необходимо понимать понятие «теория игр». Если говорить просто, то данные модели отражают математические модели настоящих конфликтов. Только стоит понимать, что, в отличие от реального конфликта, игровая математическая модель имеет свои определенные правила.
Сейчас будет приведен минимум информации из теории игр, которая поможет вам понять, что такое игровая модель. И так, в модели обязательно присутствуют стороны (две или более), которых принято называть игроками.
Все модели имеют некие характеристики.
Субъекты | Количество игроков |
Стратегия | Варианты возможных действий |
Платеж | Исход конфликта (выигрыш или проигрыш). |
Игровая модель может быть парной или множественной. Если у нас есть два субъекта, то конфликт парный, если больше – множественный. Также можно выделить антагонистическую игру, ее еще называют игрой с нулевой суммой. Это модель, в которой выигрыш одного из участников равняется проигрышу другого.
Имитационные модели
В данном разделе мы обратим внимание на имитационные математические модели. Примерами задач могут служить:
- модель динамики численности микроорганизмов;
- модель движения молекул, и так далее.
В данном случае мы говорим о моделях, которые максимально приближены к реальным процессам. По большому счету, они имитируют какое-либо проявление в природе. В первом случае, например, мы можем моделировать динамику численности муравьев в одной колонии. При этом можно наблюдать за судьбой каждой отдельной особи. В данном случае математическое описание используют редко, чаще присутствуют письменные условия:
- через пять дней женская особь откладывает яйца;
- через двадцать дней муравей погибает, и так далее.
Таким образом, имитационные модели используются для описания большой системы. Математическое заключение – это обработка полученных статистических данных.
Требования
Очень важно знать, что к данному виду модели предъявляют некоторые требования, среди которых - приведенные в таблице ниже.
Универсальность | Это свойство позволяет использовать одну и ту же модель при описании однотипных групп объектов. Важно отметить, что универсальные математические модели совершенно не зависят от физической природы исследуемого объекта |
Адекватность | Здесь важно понимать, что данное свойство позволяет максимально правильно воспроизводить реальные процессы. В задачах эксплуатации очень важно данное свойство математического моделирования. Примером модели может служить процесс оптимизации использования газовой системы. В данном случае сопоставляются расчетные и фактические показатели, в результате проверяется правильность составленной модели |
Точность | Данное требование подразумевает совпадение значений, которые мы получаем при расчете математической модели и входных параметров нашего реального объекта |
Экономичность | Требование экономичности, предъявляемое к любой математической модели, характеризуется затратами на реализацию. Если работа с моделью осуществляется ручным способом, то необходимо рассчитать, сколько времени уйдет на решение одной задачи при помощи данной математической модели. Если речь идет об автоматизированном проектировании, то рассчитываются показатели затрат времени и памяти компьютера |
Этапы моделирования
Всего в математическом моделировании принято выделять четыре этапа.
- Формулировка законов, связывающих части модели.
- Исследование математических задач.
- Выяснение совпадений практических и теоретических результатов.
- Анализ и модернизация модели.
Экономико-математическая модель
В этом разделе кратко осветим вопрос экономико-математических моделей. Примерами задач могут служить:
- формирование производственной программы выпуска мясной продукции, обеспечивающей максимальную прибыль производства;
- максимизация прибыли организации путем расчета оптимального количества выпуска столов и стульев на мебельной фабрике, и так далее.
Экономико-математическая модель отображает экономическую абстракцию, которая выражена при помощи математических терминов и знаков.
Компьютерная математическая модель
Примерами компьютерной математической модели являются:
- задачи гидравлики при помощи блок-схем, диаграмм, таблиц, и так далее;
- задачи на механику твердого тела, и так далее.
Компьютерная модель – это образ объекта или системы, представленный в виде:
- таблицы;
- блок-схемы;
- диаграммы;
- графика, и так далее.
При этом данная модель отражает структуру и взаимосвязи системы.
Построение экономико-математической модели
Мы уже ранее сказали о том, что такое экономико-математическая модель. Пример решения задачи будет рассмотрен прямо сейчас. Нам необходимо произвести анализ производственной программы для выявления резерва повышения прибыли при сдвиге в ассортименте.
Полностью рассматривать задачу мы не будем, а только построим экономико-математическую модель. Критерий нашей задачи – максимизация прибыли. Тогда функция имеет вид: Л=р1*х1+р2*х2…, стремящееся к максимуму. В данной модели р – это прибыль за единицу, х – это количество производимых единиц. Далее, основываясь на построенной модели, необходимо произвести расчеты и подвести итог.
Пример построения простой математической модели
Задача. Рыбак вернулся со следующим уловом:
- 8 рыб – обитатели северных морей;
- 20% улова – обитатели южных морей;
- из местной реки не обнаружилось ни одной рыбы.
Сколько рыб он купил в магазине?
Итак, пример построения математической модели данной задачи выглядит следующим образом. Обозначаем общее количество рыб за х. Следуя условию, 0,2х – это количество рыб, обитающих в южных широтах. Теперь объединяем всю имеющуюся информацию и получаем математическую модель задачи: х=0,2х+8. Решаем уравнение и получаем ответ на главный вопрос: 10 рыб он купил в магазине.
