Обратная функция. Теория и применение

В математике обратные функции - это взаимно соответственные выражения, которые обращаются друг в друга. Чтобы разобраться в том, что это означает, стоит рассмотреть конкретный пример. Допустим, имеем y = cos(x). Если взять от аргумента косинус, то можно найти значение y. Очевидно, для этого необходимо иметь икс. Но что если изначально дан игрек? Именно тут дело доходит до сути вопроса. Для решения задачи требуется использование обратной функции. В нашем случае это арккосинус.

После всех преобразований получим: x = arccos(y).

То есть, чтобы найти функцию, обратную данной, достаточно просто выразить из нее аргумент. Но это работает только при условии, если полученный результат будет иметь единственное значение (об этом дальше).

В общем виде можно записать этот факт так: f(x) = y, g(y) = x.

Определение

Пусть f - функция, областью определения которой является множество X, а областью значений - множество Y. Тогда, если существует g, чьи области выполняют противоположные задачи, то f является обратимой.

Кроме того, в таком случае g - единственна, что означает, что существует ровно одна функция, удовлетворяющая этому свойству (не более, не менее). Тогда ее называют обратной функцией, и на письме обозначают так: g(x) = f ^-1(x).

Другими словами, их можно рассматривать как двоичное отношение. Обратимость имеет место быть только тогда, когда одному элементу множества соответствует одно значение из другого.

Не всегда существует обратная функция. Для этого каждый элемент y є Y должен соответствовать не более чем одному x є X. Тогда f называется взаимно-однозначной или инъекцией. Если f ^-1 принадлежит Y, то каждый элемент этого множества должен соответствовать некоторому x ∈ X. Функции с таким свойством называются сюръекциями. Оно выполняется по определению, если Y - изображение f, но это не всегда так. Чтобы быть обратной, функция должна быть как инъекцией, так и сюръекцией. Такие выражения называются биекциями.

Пример: квадратные и корневые функции

Функция определена на [0, ∞) и заданна формулой f (x) = x².

Тогда она не является инъективной, поскольку каждому возможному результату Y (кроме 0) соответствует два разных X - один положительный и один отрицательный, поэтому она не обратима. В таком случае будет невозможно получить исходные данные из полученных, что противоречит теории. Она будет неинъективной.

Если область определения по условию ограничена неотрицательными величинами, то все будет работать как и раньше. Тогда она биективна и, следовательно, обратима. Обратную функцию здесь называют положительной.

Примечание по записи

Пусть обозначение f ^-1 (x) может запутать человека, но ни в коем случае нельзя использовать его так: (f (x))^{- 1}. Оно отсылает к совершенно другому математическому понятию и не имеет ничего общего с обратной функцией.

В соответствии с общими правилами некоторые авторы используют выражения типа sin^-1 (x).

Однако другие математики считают, что это может вызвать путаницу. Чтобы избежать подобных трудностей, обратные тригонометрические функции часто обозначается с помощью префикса "arc" (c латинского дуга). В нашем случае речь идет об арксинусе. Также изредка можно встретить приставку "ar" или "inv" для некоторых других функций.