С середины прошлого века в различные области деятельности человека стали входить ЭВМ и математические методы. Стали появляться новые дисциплины такие, как математическая экономика, математическая лингвистика, математическая химия и другие, предметом изучения которых являлись математические модели явлений и объектов, а также методы их исследования.
Математическая модель – это приблизительное описание на математическом языке объектов или явлений реального мира. Основной целью моделирования выступает исследование данных объектов и прогнозирование результатов будущих наблюдений. Кроме этого моделирование является и методом познания окружающей среды, мира, который дает возможность управления.
Использование математического моделирования незаменимо в случаях, когда по различным причинам затруднительно или невозможно произвести натуральный эксперимент. Например, сложно проверить, верна ли та или иная космологическая теория, или изучить последствия ядерного взрыва. Но все это можно увидеть на компьютере, предварительно построив математическую модель.
Математическая модель: этапы проектирования
Во-первых, производится построение модели. Для этого рассматривают некоторое явление природы, экономический план, конструкцию, производственный процесс или другой нематематический объект. Вначале определяют особенности явлений и связи между ними на качественном уровне. Далее полученные зависимости переводят в формульный вид или строится математическая модель. Данная стадия является самой сложной.
На втором этапе выполняют решение математической задачи, сформулированной на основании модели. Здесь повышенное внимание уделяют разработке численных методов и алгоритмов решения задачи с помощью ЭВМ, которые позволяют получить за допустимое время результат с необходимой точностью.
На следующем этапе необходима интерпретация вытекающих из модели следствий, перевод результатов с математического языка в вид, принятый в изучаемой области.
Затем осуществляют проверку адекватности полученной модели, выясняют, соответствуют ли результаты следствиям в пределах заданной точности.
На заключительном этапе производят модификацию модели. Ее или усложняют для большей адекватности действительности или упрощают, чтобы достичь приемлемого практического решения.
Классификация математических моделей
Существуют различные критерии для разделения математических моделей на группы. Так, по характеру решаемых проблем производят деление на структурные и функциональные модели. При этом характеризующие объект или явление величины выражаются количественно.
Структурная математическая модель представляется в виде системы разного типа уравнений (алгебраических, дифференциальных), которые устанавливают между изучаемыми величинами количественные зависимости. При этом рассматривают в качестве величин как независимые переменные, так и функции, образованные от них.
Функциональные модели характеризуют сложные объекты, состоящие из нескольких отдельных элементов, между которыми установлены некоторые связи. Обычно данные связи сложно или невозможно измерить количественно. Для их изучения используют теорию графов, математических объектов, которые представляют множество точек в пространстве или на плоскости.
По характеру результатов прогнозирования и исходных данных модели разделяют на вероятностные статические и детерминированные. Первый вид основан на собранных статистических данных, а полученные с их помощью прогнозы носят вероятностный характер.
К примерам математических моделей можно отнести задачи на полет снаряда, транспортные и другие задачи.
