Параллелограмм - одна из самых интересных фигур в геометрии. Этот четырехугольник обладает множеством уникальных свойств, которые позволяют легко распознать его среди прочих многоугольников. Но что делать, если в задаче не сказано прямо, что перед нами параллелограмм? Как доказать, что произвольный выпуклый четырехугольник является именно этой замечательной фигурой? Для этих целей существуют специальные признаки параллелограмма. Давайте разберем их подробно.
Определение и основные свойства параллелограмма
Итак, что же такое параллелограмм? По определению, параллелограмм - это выпуклый четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. То есть если обозначить вершины четырехугольника буквами A, B, C и D, то стороны AB и CD должны быть параллельны, а стороны AD и BC - тоже параллельны. Это главный отличительный признак параллелограмма.
Из определения вытекает несколько важных свойств:
- Противоположные стороны параллелограмма равны (AB = CD, AD = BC)
- Противоположные углы параллелограмма равны (∠BAD = ∠DCB, ∠ABC = ∠CDA)
- Диагонали параллелограмма пересекаются в середине (точки пересечения AO и CO делят диагонали пополам)
- Сумма внутренних углов при любой вершине параллелограмма равна 180°
Эти свойства можно доказать, опираясь на признаки равенства треугольников. Например, треугольники ABC и CDA равны по первому признаку, так как у них сторона AC общая, стороны AB и CD параллельны по определению параллелограмма, а углы BAC и CAD равны как внутренние накрест лежащие. Отсюда и следует равенство противоположных сторон и углов параллелограмма.
Среди параллелограммов особо выделяют несколько видов:
- Прямоугольник - параллелограмм с прямым углом
- Ромб - параллелограмм с равными сторонами
- Квадрат - прямоугольник и ромб одновременно
У каждого из этих видов параллелограмма есть свои дополнительные свойства, вытекающие из определения. Например, в ромбе все углы и диагонали равны, а в квадрате все стороны, углы и диагонали равны. Но главное, что они сохраняют все свойства обычного параллелограмма.
Основные признаки параллелограмма
Итак, мы узнали определение и основные свойства параллелограмма. А теперь давайте разберем, как можно доказать, что некий произвольный четырехугольник является параллелограммом, если это не задано явно в условии задачи.
Для этого существует несколько достаточных признаков, позволяющих утверждать, что данный четырехугольник - параллелограмм. Рассмотрим основные из них.
Первый признак
Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
Этот признак, по сути, повторяет определение параллелограмма. Чтобы его доказать, достаточно в условии задачи показать, что в данном четырехугольнике ABCD выполнено AB || CD и AD || BC. Тогда по определению это будет параллелограмм.
Второй признак
Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то он является параллелограммом.
Здесь доказательство идет с помощью диагонали. Предположим, в четырехугольнике выполнено AB = CD и AD = BC. Тогда, проведя диагональ AC, получим два равных треугольника ABC и ACD (по третьему признаку равенства треугольников). А раз эти треугольники равны, значит, соответственные углы при вершине A тоже равны. Но эти углы как раз и есть внутренние накрест лежащие, из их равенства следует, что стороны параллелограмма попарно параллельны.
Третий признак
Если диагонали четырехугольника пересекаются в середине, то это параллелограмм.
Здесь из условия о том, что AO = OC и BO = OD, доказываем равенство треугольников AOD и BOC, а затем параллельность сторон так же, как и в предыдущем случае.
Кроме этих трех основных признаков, существуют и другие, например про сумму внутренних углов. Главное помнить, что из любого данного в условии свойства четырехугольника можно логически доказать, что его противоположные стороны параллельны, а значит перед нами параллелограмм.
Давайте теперь разберем несколько конкретных задач и примеров, чтобы отработать навык доказательства того, что четырехугольник является параллелограммом.
Решение задач на доказательство свойств параллелограмма
Рассмотрим классическую задачу:
Дан четырехугольник ABCD. Известно, что AB = CD и BC = AD. Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом.
Решение:
- Проведем диагональ AC четырехугольника ABCD.
- Рассмотрим треугольники ABC и ADC с общей стороной AC.
- В этих треугольниках:
- AB = CD (дано) BC = AD (дано)
- Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников.
- Значит, соответственные углы этих треугольников тоже равны.
- В частности, ∠CAB = ∠CAD как внутренние накрест лежащие углы.
- Но тогда, по признаку параллельности прямых, AB || CD.
- Аналогично, из равенства ∠ABC и ∠ACD следует, что BC || AD.
- Получаем, что в четырехугольнике ABCD выполнены условия: AB || CD, AD || BC.
- Значит, по определению ABCD является параллелограммом.
Что здесь важно отметить:
- Мы использовали второй признак параллелограмма - о равенстве противоположных сторон.
- Для доказательства воспользовались диагональю и равенством треугольников.
- Логически перешли от данных в условии фактов к параллельности сторон и выводу о том, что четырехугольник - параллелограмм.
Таким образом, шаг за шагом мы доказали, что данный четырехугольник удовлетворяет определению параллелограмма. А значит, перед нами действительно эта замечательная фигура!
