В геометрии кругом называют замкнутую плоскую кривую, которая состоит из точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки. Эта заданная точка называется центром круга. Расстояние от центра круга до любой точки на кривой называется радиусом. Для вычисления различных характеристик круга, таких как длина окружности, площадь круга, длина дуги, площадь сектора и сегмента, используются определенные математические формулы.
Длина окружности
Окружность – это замкнутая кривая, которая ограничивает круг. Длину окружности можно вычислить по формуле:
C = 2πR
где С – длина окружности, π ≈ 3,14 – математическая константа, R – радиус круга.
Площадь круга
Площадь круга вычисляется по формуле:
S = πR2
где S – площадь круга, π ≈ 3,14 – математическая константа, R – радиус круга. Из этой формулы видно, что площадь круга прямо пропорциональна квадрату радиуса.
Длина дуги окружности
Дуга окружности – это часть окружности между двумя точками. Длину дуги можно найти двумя способами:
- Через центральный угол в градусах:
L = (α/360°)·2πR
- Через центральный угол в радианах:
L = R·α
где L – длина дуги, α – центральный угол дуги, R – радиус окружности.
Площадь кругового сектора
Сектор круга – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами. Для вычисления площади сектора используется формула:
Ссектора = (α/360°)·πR2
где Ссектора – площадь сектора, α – центральный угол сектора в градусах, π ≈ 3,14 – математическая константа, R – радиус круга.
Площадь кругового сегмента
Сегмент круга – это вырезанная часть круга, ограниченная хордой и дугой. Площадь сегмента при угле меньше 180° вычисляется по формуле:
Ссегмента = Ссектора - S△RHO
где Ссектора – площадь сектора, соответствующего сегменту, S△RHO – площадь равнобедренного треугольника, образованного радиусами, ограничивающими сегмент, и хордой дуги.
Таким образом, для нахождения площади сегмента нужно вычислить площадь соответствующего сектора и площадь треугольника RHO, а затем вычесть площадь треугольника из площади сектора.
Пример вычисления параметров круга и его частей
Рассмотрим круг радиусом R = 10 см. В этом круге проведены два радиуса, образующие сектор с центральным углом 60°. Требуется найти:
- Длину окружности данного круга
- Площадь круга
- Длину дуги сектора
- Площадь сектора углом 60°
- Площадь соответствующего сегмента
Решение:
- Длина окружности:
C = 2πR = 2·3,14·10 = 62,8 (см)
- Площадь круга:
S = πR2 = 3,14·102 = 314 (см2)
- Длина дуги сектора 60°:
L = (α/360°)·2πR = (60/360)·2·3,14·10 = 10,47 (см)
- Площадь сектора 60°:
Ссектора = (α/360°)·πR2 = (60/360)·3,14·102 = 52,3 (см2)
- Площадь сегмента 60°:
Ссегмента = Ссектора - S△RHO = 52,3 - (1/2)·10·10·sin60° = 26,2 (см2)
Таким образом, основные параметры данного круга и его частей составляют:
- Длина окружности: 62,8 см
- Площадь круга: 314 см2
- Длина дуги: 10,47 см
- Площадь сектора 60°: 52,3 см2
- Площадь сегмента 60°: 26,2 см2
Вычисление параметров эллипса
Эллипс также относится к классу замкнутых кривых на плоскости. Для вычисления его параметров используются формулы, аналогичные формулам для круга.
Длина эллипса вычисляется по приближенной формуле Рамануджана:
L ≈ π(a+b) [1 + (3h/(10+√(4-3h))) ]
где a и b — большая и малая полуоси эллипса, h — эксцентриситет.
Вычисление объема тел вращения
Если вращать фигуру вокруг оси симметрии, то получится тело вращения. Например, если вращать полуокружность радиуса R вокруг ее диаметра, то получится шар радиуса R. Для вычисления объема тела вращения используется формула:
V = π ∫︁ R2 dx
где R — функция, задающая профиль вращения.
Площадь криволинейных трапеций
Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной дугой окружности, используется формула:
S = (R1 + R2)h / 2
где R1 и R2 — радиусы дуг, ограничивающих трапецию, h — расстояние между центрами дуг.
Приближенный подсчет площади криволинейной фигуры
Для приближенного подсчета площади произвольной криволинейной фигуры можно воспользоваться сеткой. Накладываем на фигуру сетку из квадратов со стороной l и подсчитываем число целых и частично заполненных квадратов. Затем умножаем на площадь одного квадрата:
S ≈ N·l2
Где N — число квадратов.
Применение интегрального исчисления
С помощью интегрального исчисления можно точно вычислять площади криволинейных фигур, объемы тел вращения, длину дуги кривой и другие величины. Например, для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой y = f(x), используется формула:
S = ∫︁ab f(x) dx
Вычисление длины дуги эллипса
Для вычисления длины дуги эллипса используется формула:
L = ∫︁α1α2 √(a^2sin^2θ + b^2cos^2θ) dθ
где a и b — большая и малая полуоси эллипса, α1 и α2 — углы, ограничивающие дугу, θ — текущий угол.
Приближенное вычисление площади эллиптического сектора
Площадь эллиптического сектора может быть приближенно посчитана по формуле:
Ссектора ≈ (α/360°)πab
где a и b — полуоси эллипса, α — центральный угол сектора.
Точное вычисление площади эллиптического сегмента
Для точного подсчета площади эллиптического сегмента используется интеграл:
Ссегмента = ∫︁α1α2 (a^2cos^2θ + b^2sin^2θ) dθ
где a и b — полуоси эллипса, α1 и α2 — углы, ограничивающие сегмент.
Объем тела, полученного вращением эллипса
Формула для вычисления объема тела, полученного вращением эллипса с полуосями a и b вокруг большей оси:
V = πab^2
Площадь кардиоиды
Кардиоида — плоская кривая, которая может быть получена как огибающая семейства окружностей. Ее площадь вычисляется по формуле:
S = πa^2 (1 + 2/e)
где a — радиус, e — эксцентриситет.
Вычисление расстояний на поверхности сферы
Для вычисления расстояний между точками на поверхности сферы используется формула сферической тригонометрии:
c = R⋅arccos(sinφ1⋅sinφ2 + cosφ1⋅cosφ2⋅cosΔλ)
где R — радиус сферы, φ1, φ2 — широты точек, Δλ — разность долгот точек.
