Как найти диагональ трапеции: простые способы

Как часто в школьной программе по геометрии встречается задача - найти диагональ трапеции? Довольно часто! И каждый раз это вызывает затруднения. В этой статье мы подробно разберем несколько простых и понятных способов нахождения диагонали трапеции.

Что такое трапеция и ее элементы

Итак, давайте начнем с азов и вспомним, что такое трапеция и какие элементы в ней выделяют.

• Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (это основания трапеции).
• Другие две стороны называют боковыми сторонами.
• Линия, соединяющая вершины непараллельных сторон, называется диагональю трапеции.
• Высота трапеции - перпендикуляр, опущенный из вершины на основание.

Различают несколько видов трапеций:

1. Равнобокая - у нее боковые стороны равны.
2. Равнобедренная - основания равны.
3. Прямоугольная - у нее есть прямой угол.

Зачем нужно знать диагональ трапеции?

Знание диагонали трапеции часто необходимо для решения задач на вычисление площади трапеции, радиусов вписанных или описанных окружностей.

Например, для нахождения площади трапеции нужно знать сумму ее оснований и высоту. А иногда в условии задачи длина высоты не задана, зато есть диагональ. В этом случае по диагонали мы можем найти высоту из подобия треугольников.

То есть знание способов вычисления диагонали позволяет решать и другие задачи.

Обзор способов нахождения диагонали трапеции

Итак, основные способы нахождения диагонали трапеции таковы:

1. По известным сторонам трапеции.
2. Через высоту трапеции.
3. С помощью подобия треугольников (геометрический способ).

Далее мы подробно разберем каждый из этих способов: рассмотрим формулы, приведем примеры решения задач.

Начнем с рассмотрения основных формул для вычисления диагонали трапеции.

Формула через стороны трапеции

Если известны все 4 стороны трапеции - нижнее основание a, верхнее основание b и две боковые стороны c и d, то диагонали вычисляются по формулам:

Где d₁ и d₂ - искомые диагонали трапеции.

Формула через высоту трапеции

Если известна высота трапеции h, одно из оснований a и прилежащая к нему боковая сторона c, то по теореме косинусов:

d² = a² + c² - 2ac⋅cosα

Где α - угол между сторонами a и c.

Эту формулу также можно использовать, зная другое основание трапеции b и вторую боковую сторону d.

Пример использования формулы через высоту

Рассмотрим пример.

Дана трапеция с основаниями 12 см и 5 см, высотой 7 см. Найти диагональ, проведенную из вершины с основанием 12 см. Боковая сторона равна 13 см.

Решение:

Подставляем значения в формулу:

d² = 12² + 13² - 2·12·13·cosα

Угол α - острый, cosα положительный. Принимаем cosα = 0,8.

Тогда:

d² = 144 + 169 - 2·12·13·0,8 = 144 + 169 - 249,6 = 63,4

d = √63,4 ≈ 8 см

Ответ: искомая диагональ равна 8 см.

Формула для равнобокой трапеции

Если трапеция равнобокая, то формула упрощается:

d² = (a + b)² + 4c²

где a и b - основания трапеции, c - общая длина боковых сторон, d - диагональ.