Знаете ли вы, что параллельные прямые никогда не пересекутся, даже если их продолжить до бесконечности? Это удивительное геометрическое свойство лежит в основе многих задач и доказательств.
Первый способ: равенство накрест лежащих углов
Для начала дадим определения основных понятий. Параллельными называются две прямые на плоскости, которые при любом продолжении не пересекаются. А секущей по отношению к двум прямым называется прямая, пересекающая эти прямые.
При пересечении двух прямых секущей образуются разные углы. В частности, выделяют накрест лежащие углы - это углы, вершины которых лежат по разные стороны от секущей.
И вот первый признак:
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Как это доказать
Предположим, что прямые a и b не параллельны, то есть пересекаются в некой точке C. Разобьем плоскость секущей c на две полуплоскости. В одной из них находится точка C.
Затем построим треугольник, равный треугольнику ABC, но с вершиной C1 в другой полуплоскости. Получатся два треугольника с общими сторонами AB и AC1, имеющие равные углы с вершинами A и B (ведь углы ∠1 и ∠2 - накрест лежащие).
По признаку равенства треугольников эти треугольники равны. Значит, прямая AC1 совпадает с прямой a, а прямая BC1 совпадает с прямой b. Получается, что через точки C и C1 проходят две разные прямые a и b. Это противоречит аксиоме принадлежности, согласно которой через две точки может проходить одна прямая.
Таким образом, наше предположение неверно, и прямые a и b параллельны.
Пример использования первого признака
Даны прямые a и b и точки A и B, лежащие на этих прямых. Известно, что ∠1 = 60°, а ∠2 = 120°. Докажем, что прямые a и b параллельны.
Поскольку ∠1 = 60°, а ∠2 и ∠3 являются смежными вертикальными углами, то ∠3 = 180° - 120° = 60°. Получаем, что ∠3 = ∠1. Это накрест лежащие углы. Следовательно, по первому признаку прямые a и b параллельны.
Итак, мы рассмотрели первый довольно простой способ доказательства параллельности прямых с помощью углов. Эффективно использовать его в тех случаях, когда в условии задачи уже даны равные или легко вычисляемые накрест лежащие углы.
Второй способ: равенство соответственных углов
Кроме накрест лежащих углов, при пересечении двух прямых секущей образуются еще и соответственные углы - это углы, лежащие по одну сторону от секущей. Например, на рисунке углы ∠1 и ∠5 являются соответственными:
И второй признак параллельности звучит так:
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Как доказать второй признак?
Воспользуемся свойствами вертикальных углов. Поскольку ∠1 = ∠2, а ∠2 равен вертикальному ему углу ∠3 как смежному, получаем, что ∠1 = ∠3. Но углы ∠1 и ∠3 являются накрест лежащими. Поэтому по первому признаку прямые a и b параллельны.
Таким образом, при наличии в условии задачи равных соответственных углов, всегда можно свести ситуацию к первому признаку параллельности через равенство вертикальных углов.
Третий способ: сумма односторонних углов равна 180°
Помимо накрест лежащих и соответственных, при пересечении двух прямых секущей образуются еще и односторонние углы - углы, вершины которых лежат по одну сторону от секущей:
Для них справедлив следующий признак параллельности:
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство третьего признака
Поскольку ∠1 и ∠3 - смежные углы, их сумма равна 180°. Тогда ∠3 = 180° - ∠2. Но из условия ∠1 + ∠2 = 180°, значит ∠1 = 180° - ∠2. Получаем, что ∠1 = ∠3. Это накрест лежащие углы, поэтому по первому признаку прямые a и b параллельны.
Пример применения третьего признака
Даны три точки A, B и C. Известно, что угол ABC равен 40°, а угол ACB равен 50°. Доказать, что прямые AB и BC параллельны.
Поскольку углы ABC и ABD вертикальные и в сумме дают 90°, то ∠ABD=90°-40°=50°. Аналогично, ∠CBA=90°-50°=40°. Получаем, что ∠ABD + ∠CBA = 50° + 40° = 90° - это сумма односторонних углов относительно секущей AC. Значит, по третьему признаку прямые AB и BC параллельны.
Сравнительный анализ трех способов
Мы рассмотрели 3 основных признака, позволяющих доказать, что две прямые являются параллельными. Каждый из способов имеет свои достоинства и недостатки. Давайте сравним их в виде таблицы:
| Признак параллельности | Достоинства | Недостатки |
| 1. Равенство накрест лежащих углов | Простота применения | Не всегда есть нужные углы |
| 2. Равенство соответственных углов | Сводится к 1 признаку | Дополнительные построения |
| 3. Сумма односторонних углов 180° | Работает всегда | Требует вычислений |
Как видно, у каждого способа есть своя область эффективного применения. Первый удобен в простых случаях, второй требует дополнительных рассуждений, а третий всегда применим, но может потребовать вычислений.
Как выбрать лучший способ?
Чтобы определить, какой признак выгоднее использовать в конкретной задаче, рекомендую выполнить следующие шаги:
- Внимательно изучить условие задачи, найти все имеющиеся углы
- Попробовать сразу применить 1 или 3 признак
- Если не получилось, рассмотреть возможность использования 2 признака
- Выбрать оптимальный вариант с наименьшими дополнительными построениями
Следуя этой схеме, можно быстро определить лучший способ доказать, что в задаче прямые параллельны.
