Интегральный признак сходимости ряда: примеры и нюансы

Интегральный признак сходимости ряда - мощный инструмент исследования сходимости бесконечных числовых рядов. Он позволяет свести вопрос о сходимости ряда к вычислению определенного интеграла. Давайте разберемся, как это работает.

Формулировка интегрального признака сходимости

В общем виде интегральный признак Коши формулируется следующим образом:

Ряд \(\sum_{n=1}^\infty f(n)\) сходится или расходится одновременно с интегралом \(\int_1^\infty f(x)dx\).

Это означает, если интеграл от функции \(f(x)\) сходится при пределах интегрирования от 1 до бесконечности, то и соответствующий ему ряд \(\sum_{n=1}^\infty f(n)\) будет сходящимся. И наоборот, если интеграл расходится, то расходится и ряд.

Чтобы можно было применить этот критерий, функция \(f(x)\) должна удовлетворять следующим условиям:

• Быть непрерывной на промежутке \([1,+\infty)\)
• Быть монотонно убывающей на этом промежутке
• Быть неотрицательной при всех \(x \geq 1\)

Таким образом, проверив выполнение этих условий и вычислив интеграл, мы можем сделать вывод о сходимости исходного ряда.

Условия применения интегрального признака

Давайте подробнее разберемся с условиями, которые накладываются на функцию \(f(x)\) при использовании интегрального признака.

1. Непрерывность функции. Функция \(f(x)\) должна быть непрерывной на промежутке \([1,+\infty)\). Это означает, что функция должна быть определена при всех значения x от 1 до бесконечности. То есть в точках разрыва функции интегральный признак применить нельзя.

2. Монотонность функции. Функция \(f(x)\) должна быть монотонной, т.е. либо возрастать, либо убывать. В нашем случае она должна быть монотонно убывающей при всех \(x \geq 1\). Это означает, что с ростом значений аргумента x значения функции \(f(x)\) должны уменьшаться или оставаться неизменными.

   Copy code

   Монотонность функции можно проверить, найдя производную \(f'(x)\) и убедившись, что \(f'(x) \leq 0\) при всех \(x \geq 1\).

3. Неотрицательность функции. Значения функции \(f(x)\) должны быть неотрицательны в области интегрирования, т.е. при всех \(x \geq 1\). Это обеспечивает корректное сравнение интеграла и ряда по их сходимости.

Только при выполнении всех этих условий мы можем воспользоваться интегральным признаком для исследования сходимости ряда.

Алгоритм применения интегрального признака

Пошаговый алгоритм использования интегрального признака сходимости ряда выглядит следующим образом:

1. Выписать общий член ряда \(f(n)\) и выделить из него функцию одной переменной \(f(x)\).

2. Проверить, удовлетворяет ли функция \(f(x)\) необходимым условиям (непрерывность, монотонность, неотрицательность).

3. Найти интеграл от этой функции \(\int_1^\infty f(x)dx\) в указанных пределах.

4. Сравнить сходимость полученного интеграла и исходного ряда:

   Copy code
   Если интеграл сходится, то сходится и ряд. Если интеграл расходится, то расходится и ряд.

Рассмотрим несколько конкретных примеров применения этого алгоритма.

Примеры применения интегрального признака

Рассмотрим несколько типичных задач, которые можно решить с помощью интегрального признака сходимости.

Исследовать сходимость ряда \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}\)

Решение:

1. Общий член ряда \(f(n) = \frac{1}{n\ln^2 n}\). Выделяем функцию \(f(x) = \frac{1}{x\ln^2 x}\).

2. Функция \(f(x)\) непрерывна при \(x \geq 1\), монотонно убывает и неотрицательна. Следовательно, условия интегрального признака выполнены.

3. Вычисляем интеграл:

   \[ \int_1^\infty \frac{1}{x\ln^2 x} dx = \left.-\frac{1}{\ln x}\right|_1^\infty = 1 \]

   Copy code

   Получили конечное значение, значит интеграл сходится.

4. Поскольку соответствующий интеграл сходится, то исследуемый ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}\) также сходится.

Другой пример:

Исследовать сходимость ряда \(\sum_{n=3}^\infty \frac{\cos n}{n^2\ln n}\)

Здесь нам также поможет интегральный признак Коши. Выделяем функцию \(f(x) = \frac{\cos x}{x^2\ln x}\), проверяем условия и вычисляем интеграл. Можно показать, что в данном случае интеграл (и ряд) расходится.

Аналогичным образом этот метод применяется для исследования сходимости большого класса рядов, в частности рядов с факториалами, логарифмами, степенными и тригонометрическими функциями.

Сочетание интегрального признака с другими методами

Иногда для решения задачи на сходимость ряда требуется скомбинировать интегральный признак с другими методами исследования, например с признаками сравнения или предельным переходом.

Рассмотрим такой пример:

Исследовать сходимость ряда \(\sum_{n=2}^\infty \frac{\ln(n+1)}{n^3+1}\)

1. Выделяем функцию \(f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x^3+1}\). Она удовлетворяет условиям признака Коши.

2. Однако вычислить интеграл \(\int_2^\infty f(x)dx\) сложно. Поэтому вводим вспомогательную функцию:

   \(g(x) = \frac{\ln x}{x^3+1}\)

   Copy code

   Для нее интеграл вычисляется:

   \(\int_2^\infty g(x)dx = \text{расходится}\)

3. С помощью предельного перехода \(n \to \infty\) показываем, что

   \(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1\)

4. По признаку сравнения делаем вывод, что исходный ряд расходится.

А в следующем примере интегральный признак используется дважды:

Исследовать сходимость ряда \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n}{n^3 \ln^3(n+1)}\)

1. Сначала применяем интегральный признак для вспомогательного ряда

   \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \ln^3(n+1)}\)

   Copy code

   Получаем, что он сходится.

2. Затем again применяем интегральный признак уже для исходного ряда, используя оценку \(-1 \leq \cos x \leq 1\). Делаем вывод, что исходный ряд также сходится.

Типичные ошибки при использовании признака

Чтобы избежать ошибок при работе с интегральным признаком, полезно знать наиболее распространенные "подводные камни":

• Неправильная проверка условий признака (монотонности, неотрицательности).

• Неверные пределы интегрирования, не соответствующие пределам суммирования в ряде.

• Ошибки при вычислении интегралов (нахождение несобственного вместо собственного интеграла).

• Неправильное сравнение сходимости ряда и интеграла.

Когда лучше использовать другие методы

Несмотря на широкие возможности, интегральный признак не является универсальным. В ряде случаев проще и надежнее воспользоваться другими критериями сходимости.

Например, если в числителе общего члена ряда содержится многочлен или степенная функция, часто удобнее применить признак Коши или предельный переход. Это позволяет избежать громоздких преобразований под интегралом.

Кроме того, для знакопеременных или знакочередующихся рядов нужно использовать признаки Лейбница или Дирихле. А в некоторых случаях оптимальным решением будет разложение функции в ряд Тейлора или Маклорена.