Уравнение Дарси является фундаментальной математической моделью для описания процессов фильтрации жидкостей и газов в пористых средах. Оно позволяет с высокой точностью рассчитывать характеристики течения в таких природных материалах, как грунты, горные породы, нефтяные коллекторы и др.
История открытия уравнения Дарси
Впервые экспериментально установил линейную зависимость расхода фильтрующейся жидкости от перепада давления французский инженер Анри Дарси в 1856 году. Он провел серию опытов по пропусканию воды через вертикальные песчаные фильтры при различных перепадах давления.
Q = K ∙ A ∙ ΔP / L
Полученное Дарси уравнение в интегральной форме устанавливало прямую пропорциональную зависимость расхода Q от площади поперечного сечения фильтра A, перепада давления ΔP и обратную — от толщины фильтрующего слоя L. Коэффициент пропорциональности K впоследствии стал называться коэффициентом фильтрации или проницаемостью.
C тех пор уравнение Дарси многократно подтверждалось в опытах других исследователей и легло в основу гидродинамической теории фильтрации. Однако область его применимости ограничивается двумя важными допущениями:
- Малые скорости фильтрации (малые числа Рейнольдса)
- Ньютоновские свойства фильтрующихся жидкостей
При высоких скоростях течения в пористых средах начинают проявляться инерционные эффекты, приводящие к нелинейной зависимости. Для их описания используется уравнение Дарси — Форхгеймера.
Для неньютоновских жидкостей (суспензий, полимерных растворов) связь между расходом и перепадом давлений тоже является нелинейной из-за проявления внутренних сил взаимодействия.
Физический смысл уравнения Дарси
Рассмотрим более подробно физику процессов фильтрации и выведем уравнение Дарси из законов сохранения импульса и массы. Для этого выделим элементарный объем пористой среды внутри фильтрационного потока:
На данный объем со стороны фильтрующейся жидкости действуют вязкие силы трения со стороны поверхности пор. Они направлены по касательной к линиям тока и пропорциональны градиенту скорости и динамической вязкости среды:
Кроме того, на объем действует сила тяжести, а также градиент давления жидкости. Приравнивая сумму всех сил к нулю в соответствии с законом Ньютона, получаем уравнение Навье-Стокса для пористой среды:
Далее осредняя это уравнение по представительному объему фильтрационного потока и пренебрегая локальными ускорениями, приходим к дифференциальной форме закона Дарси:
Здесь вектор \vec{v} представляет уже усредненную по порам скорость фильтрации. Видно, что она прямо пропорциональна градиенту давления и коэффициенту проницаемости K, и обратно пропорциональна вязкости жидкости.
Таким образом, коэффициент проницаемости K характеризует как гидродинамические свойства пористой среды (размер, форму и соединенность пор), так и реологические свойства фильтрующейся жидкости.
Математическая форма уравнения Дарси
Рассмотрим более подробно различные математические формы записи уравнения Дарси и их связь с другими уравнениями гидродинамики.
Дифференциальная форма
Дифференциальная форма уравнения Дарси имеет вид:
Здесь \vec{v} – вектор усредненной скорости фильтрации; \nabla P – градиент давления в пористой среде; \vec{g} – ускорение свободного падения.
Данная форма записи позволяет легко обобщить уравнение Дарси на случай неоднородных и анизотропных пористых сред, для которых тензор проницаемости K является не скаляром, а tensor of second orderd . Тогда скорость фильтрации пропорциональна не градиенту давления, а его контрактиву с тензором K.
Для изотропной однородной среды тензор K сводится к скаляру k и получаем классическое
Здесь k – скалярный коэффициент проницаемости пористой среды.
Интегральная форма
Интегрируя дифференциальное уравнение Дарси по нормали к потоку, получаем закон Дарси в интегральной форме:
Где Q – объемный расход жидкости; A – площадь поперечного сечения; L – длина пути фильтрации.
Данная форма записи наиболее близка к первоначальному экспериментальному уравнению Дарси и удобна для инженерных расчетов фильтрации в простых геометриях.
Связь с уравнением неразрывности
Совместно с уравнением Дарси для описания фильтрационных течений используется дифференциальное уравнение неразрывности:
ω1 V1 = ω2 V2 = const
где ω1 и ω2 – площади соответствующих живых сечений; V1 и V2 – средние скорости в соответствующих сечениях.
Уравнение неразрывности потока (уравнение баланса расхода) справедливо для установившегося движения, отражает свойства несжимаемости жидкости и сплошности ее движения
Оно выражает закон сохранения массы жидкости в пористой среде с учетом ее несжимаемости (∇ ∙ \vec{v} = 0).
Связь с уравнением Дарси-Вейсбаха
В технической гидравлике для расчета потерь напора на трение используется уравнение Дарси-Вейсбаха:
Формула Дарси-Вейсбаха: D = (8 * Q) / (π * v)
Где D — диаметр трубопровода, Q — объем потока жидкости и v — скорость потока. Эта формула позволяет выбрать оптимальный диаметр, обеспечивая эффективную работу системы.
Формально оно не является обобщением уравнения Дарси, так как описывает течение в трубах, а не в пористых средах. Тем не менее, между этими уравнениями есть глубокая внутренняя связь.
