Скобки Пуассона - это важнейший математический аппарат, позволяющий глубже изучить движение механических систем. С их помощью можно найти дополнительные интегралы движения и упростить решение многих задач аналитической механики.
1. Определение скобок Пуассона
Скобки Пуассона для двух произвольных динамических величин u и v определяются следующим дифференциальным выражением:
(u, v) = ∑i=1n (∂u/∂qi ∂v/∂pi - ∂u/∂pi ∂v/∂qi)
Здесь qi и pi - канонические переменные системы (обобщенные координаты и импульсы), n - число степеней свободы. Проще всего вычисляются элементарные скобки Пуассона:
- {qj, qk} = 0
- {pj, pk} = 0
- {pj, qk} = δjk
Скобки Пуассона тесно связаны со скобками Якоби и удовлетворяют одноименному тождеству.
2. Основные свойства скобок Пуассона
Рассмотрим наиболее важные свойства этих скобок:
- Антисимметричность: (u,v) = -(v,u)
- Линейность относительно каждого аргумента
- Распределительность: вынесение констант и произведений за знак скобки
Скобки Пуассона инвариантны относительно канонических преобразований переменных. Для них выполняется тождество Якоби с участием трех функций u, v и w.
Докажем последнее утверждение. Пусть даны три произвольные функции u, v и w от канонических переменных. Тогда имеет место следующая формула:
(u, (v, w)) + (v, (w, u)) + (w, (u, v)) = 0
Это тождество лежит в основе многих важных свойств скобок Пуассона.
3. Вывод уравнений движения
С помощью скобок Пуассона можно получить уравнения движения гамильтоновой системы. Производная от произвольной динамической величины f записывается в виде
df/dt = ∂f/∂t + {f, H}
где H - гамильтониан системы. А для канонической переменной qj имеем конкретное выражение
dqj/dt = ∂H/∂pj
Это и есть уравнения Гамильтона. Таким образом, скобки Пуассона позволяют компактно записать важнейшие уравнения движения.
4. Теорема Пуассона
Еще одно фундаментальное свойство скобок Пуассона - так называемая теорема Пуассона. Она утверждает, что скобка Пуассона двух интегралов движения является тоже интегралом движения.
Докажем этот результат. Пусть f и g - интегралы движения, тогда {f, H} = 0 и {g, H} = 0. Подставляя это в тождество Якоби и проводя преобразования, получаем:
{f, g} = const
Значит, скобка Пуассона {f, g} не зависит явно от времени, то есть является интегралом движения.
5. Применение теоремы Пуассона
Теорема Пуассона часто используется для нахождения новых интегралов движения и упрощения решения задач механики. Рассмотрим такой пример. Пусть известны интегралы E и Pz, тогда их скобка {E, Pz} будет новым интегралом движения системы.
6. Связь скобок Пуассона и симметрий
Еще один важный момент - скобки Пуассона тесно связаны с симметриями гамильтоновой системы. Эта связь позволяет глубже понять природу движения.
Конкретный пример - свободная частица в трехмерном пространстве. Ее движение инвариантно относительно группы пространственных преобразований. Скобки Пуассона между соответствующими интегралами движения отражают алгебру этой группы.
7. Скобки Пуассона и квантовая механика
В квантовой механике роль классических скобок Пуассона играют квантовые скобки Пуассона, определяемые через коммутаторы операторов. Они обладают аналогичными свойствами и позволяют обобщить классическую теорию.
8. Квантовые скобки Пуассона
В квантовой механике вместо классических динамических величин рассматриваются операторы. Для них вводятся квантовые аналоги скобок Пуассона - коммутаторы операторов:
[A, B] = AB - BA
Квантовые скобки Пуассона обладают теми же математическими свойствами, что и классические:
- Антисимметричность: [A, B] = -[B, A]
- Линейность относительно операторов
- Распределительность: вынесение множителей за коммутатор
Для них также справедливо квантовое тождество Якоби. Операторы, соответствующие физическим величинам, удовлетворяют аналогичным соотношениям.
9. Квантовая теорема Пуассона
Существует квантовый аналог теоремы Пуассона: коммутатор двух интегралов движения является тоже интегралом движения. Это важное утверждение позволяет находить новые физические сохраняющиеся величины в квантовых системах.
10. Применение квантовых скобок Пуассона
Квантовые скобки Пуассона широко используются в современной квантовой механике и квантовой теории поля. Они позволяют:
- Компактно записывать уравнения движения
- Выявлять скрытые симметрии систем
- Находить новые интегралы движения
Таким образом, скобки Пуассона являются универсальным математическим аппаратом, применимым как в классической, так и квантовой теории.
11. Применение скобок Пуассона в аналитической механике
Рассмотрим некоторые конкретные примеры использования скобок Пуассона в классической аналитической механике при решении задач.
Во-первых, с помощью скобок Пуассона можно проверить, является ли заданное преобразование координат каноническим. Для этого достаточно вычислить матрицы вида (Q,P), (P,P) и (Q,Q) и проверить выполнение соответствующих критериев.
Во-вторых, скобки Пуассона позволяют исследовать интегрируемость гамильтоновых систем, то есть наличие достаточного числа интегралов движения. Это делается с помощью теоремы Пуассона.
12. Нахождение интегралов движения
Еще одно важнейшее применение скобок Пуассона - нахождение дополнительных интегралов движения в механических системах. Уже упомянутая теорема Пуассона позволяет строить новые интегралы.
Другой подход - анализ симметрий системы и нахождение интегралов, соответствующих генераторам преобразований симметрии. Здесь также используются скобки Пуассона.
13. Решение конкретных задач механики
И last but not least - скобки Пуассона незаменимы при решении конкретных задач аналитической механики. Зная интегралы движения, с их помощью можно свести задачу к квадратурам и найти траектории.
Рассмотрим в качестве примера движение частицы в одномерном потенциале. Запишем уравнение для координаты...
14. Пример: частица в одномерном потенциале
Рассмотрим конкретный пример - движение частицы в одномерном потенциальном поле U(x). Запишем гамильтониан:
H = p2/2m + U(x)
Здесь p - импульс частицы, m - ее масса. Уравнение для координаты имеет вид:
ẋ = {x, H} = p/m
Аналогично для импульса:
ṗ = {p, H} = -U'(x)
15. Построение траекторий
Интегрируя эти уравнения, можно найти траекторию частицы x(t). Однако в общем случае решение возможно только численно или приближенно.
Чтобы получить точный аналитический результат, нужно воспользоваться дополнительным интегралом движения. Его можно найти методом скобок Пуассона.
16. Дополнительный интеграл движения
Рассмотрим функцию G = p2/2m - U(x) и вычислим скобку Пуассона {H, G}. Используя свойства скобок, несложно показать, что {H, G} = 0.
Значит, G = const - это дополнительный интеграл движения, который позволяет аналитически решить задачу.