Преобразования Галилея - это математические соотношения, позволяющие описать связь между координатами и временем в различных инерциальных системах отсчета. Хотя на первый взгляд они кажутся очевидными следствиями здравого смысла, на самом деле за этой простотой скрываются глубокие идеи, лежащие в основе классической механики.
Исторический контекст открытия
Впервые идея о том, что все инерциальные системы равноправны, была сформулирована Галилео Галилеем в его работе 1632 года "Диалог о двух главнейших системах мира":
"Законы природы одинаковы в любой системе отсчета, движущейся равномерно и прямолинейно; следовательно, нельзя экспериментально установить, находится ли данная система в состоянии покоя или равномерного движения".
Это положение впоследствии получило название принцип относительности Галилея и стало одной из основ классической механики.
Формулировка преобразований
Преобразование координат Галилея между двумя инерциальными системами отсчета K и K', движущимися со скоростью $\vec{v}$ относительно друг друга, имеют следующий вид:
- Для координат: $x′ = x - vt$ $y′ = y$ $z′ = z$
- Для времени:
- $t′ = t$
Здесь предполагается, что оси систем сонаправлены, а начала координат совпадают в начальный момент времени $t_0 = 0$. Время считается абсолютным и одинаковым во всех ИСО. А вот пространственные координаты претерпевают линейное изменение при переходе от одной системы к другой.
Следствия для скоростей и ускорений
Из преобразований Галилея можно получить также правило сложения скоростей:
- $v_x = v'_x + v$
- $v_y = v'_y$
- $v_z = v'_z$
В векторном виде:
- $\vec{v} = \vec{v}' + \vec{v}_0$
Это и есть знаменитый закон сложения скоростей Галилея. Он показывает, что скорость тела в одной ИСО равна векторной сумме его скорости в другой ИСО и скорости самих ИСО относительно друг друга.
Дважды дифференцируя координаты по времени, получаем:
- $\vec{a} = \vec{a}'$
То есть ускорение тела инвариантно и не зависит от выбора инерциальной системы отсчета. Это важный результат, поскольку из него следует равноправие всех ИСО: если в одной из них тело движется без ускорения, значит и в любой другой тоже.
Инвариантность расстояний и временных интервалов
Как ни странно, из преобразований Галилея следует инвариантность длин отрезков и интервалов времени. Рассмотрим это подробнее.
Пусть в некоторый момент $t_1$ тело находится в точке с радиус-вектором $\vec{r}_1$ в системе K и $\vec{r}'_1$ в системе K'. В момент $t_2$ оно перемещается в точку с радиус-вектором $\vec{r}_2$ и $\vec{r}'_2$ соответственно. Тогда квадрат расстояния, которое тело прошло за это время в ИСО K будет:
- $(r_{12})^2 = (\vec{r}_2 - \vec{r}_1)^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$
Подставляя сюда преобразования Галилея, легко убедиться, что это же самое значение получит и наблюдатель в ИСО K':
- $(r'_{12})^2 = (\vec{r}'_2 - \vec{r}'_1)^2 = (x'_2 - x'_1)^2 + (y'_2 - y'_1)^2 + (z'_2 - z'_1)^2$
Аналогично доказывается инвариантность интервалов времени Δt = t2 - t1. То есть время течет одинаково и события происходят одновременно во всех ИСО.
Этот результат далеко не очевиден и вовсе не следует из «здравого смысла». На самом деле преобразования Галилея изначально постулируют абсолютность пространства и времени. И только после открытия преобразований Лоренца станет ясно, что это не совсем так.
Применение преобразований Галилея
Преобразования Галилея широко используются для решения задач классической механики. Рассмотрим несколько примеров их применения на практике.
Пусть автомобиль движется со скоростью $v_{A}$ относительно дороги. Внутри него едет пассажир, бросивший вверх мяч со скоростью $v_{0}$. Требуется определить траекторию мяча относительно Земли. Для этого применяем закон сложения скоростей:
- $v_{MZ} = v_{MA} + v_{0}$
где $v_{MZ}$ - скорость мяча относительно Земли, $v_{MA}$ - скорость мяча относительно автомобиля. Подставляем численные значения и вычисляем траекторию.
Другой пример: требуется рассчитать силу, действующую на какое-либо тело при его ускорении в инерциальной системе отсчета K. Можно воспользоваться принципом относительности Галилея в механике и перейти в другую ИСО K', где будет удобнее произвести вычисления. Согласно инвариантности ускорения, сила в обеих ИСО будет одинаковой.
Рекомендации по использованию
Из практики можно дать несколько рекомендаций по применению преобразований Галилея:
- При решении задач всегда удобно переходить в ИСО, связанную с одним из тел
- Сначала определите ускорения тел в этой ИСО, затем воспользуйтесь их инвариантностью
- Помните, что механический принцип относительности применим только для не слишком больших скоростей
Сравнение преобразований Галилея и Лоренца
Хотя преобразования Галилея верны для скоростей, значительно меньших скорости света, они имеют ограниченную область применимости. При скоростях порядка сотен километров в секунду начинают проявляться релятивистские эффекты, описываемые преобразованиями Лоренца.
Основные отличия:
- В отличие от абсолютного времени Галилея, в СТО ход времени зависит от скорости движения
- Длины отрезков и масса зависят от скорости при преобразованиях Лоренца
Таким образом, преобразования Галилея можно рассматривать как предельный случай преобразований Лоренца при $v \ll c$.
Преобразования Галилея - математические соотношения, позволяющие связать координаты и время в разных инерциальных системах отсчета. В статье рассмотрены вывод этих преобразований, их применение, а также инвариантность механических величин, раскрывающих суть принципа относительности в классической механике.
