Формула Стерджесса::определение и условия ее применения

Формула Стерджесса - это уникальный статистический инструмент, позволяющий с научной точностью определить оптимальное количество интервалов для построения гистограммы. Эта формула широко используется в прикладной статистике, но далеко не все знают о ее возможностях.

История создания формулы Стерджесса

Автором формулы Стерджесса является немецкий математик Герберт Стерджес. Он вывел свою знаменитую формулу в 1926 году, опираясь на предшествующие исследования в области теории вероятностей и математической статистики.

Изначально Стерджес видел практическое применение своей формулы при построении статистических гистограмм. Она позволяла определить оптимальное число интервалов таким образом, чтобы гистограмма максимально точно отражала заложенную в наборе данных функцию распределения вероятностей.

Со временем выяснилось, что формула Стерджесса универсальна и ее можно использовать в самых разных областях статистики. Это объясняет ее огромную популярность.

Математическое обоснование формулы Стерджесса

В основе формулы Стерджесса лежит идея аппроксимации биномиального распределения нормальным. Рассмотрим подробнее.

Пусть имеется набор данных объемом N. Требуется разбить эти данные на k интервалов и построить гистограмму.

Формула Стерджесса устанавливает зависимость оптимального числа интервалов k от числа наблюдений N:

k = 1 + 3.322*log₁₀(N)

При выводе этой формулы Стерджес исходил из предположения, что набор данных подчиняется биномиальному закону распределения. Однако на практике чаще приходится иметь дело с нормальным распределением.

Применение формулы Стерджесса на практике

Формула Стерджесса широко используется в социологии, биологии, экономике и других науках, где требуется обработка статистических данных.

Например, социологи применяют эту формулу при анализе данных социологических опросов. Рассмотрим конкретный случай.

Пусть проведен опрос 1500 респондентов о их отношении к повышению пенсионного возраста. Полученные данные нужно проанализировать с помощью гистограммы.

Применим формулу Стерджесса, чтобы определить оптимальное число интервалов:

k = 1 + 3.322*log₁₀(1500) = 7.5 ≈ 8 интервалов

Итак, для построения гистограммы нам потребуется 8 интервалов. Далее рассчитывается шаг гистограммы и строится ее график по полученным данным. Благодаря формуле Стерджесса гистограмма будет адекватно отражать распределение мнений респондентов.

Условия корректного применения формулы Стерджесса

Чтобы применение формулы Стерджесса давало корректные результаты, нужно учитывать несколько важных моментов.

Во-первых, общее число наблюдений N должно быть не меньше 50. При меньших выборках точность формулы Стерджесса снижается.

Во-вторых, необходимо убедиться, что исходные данные подчиняются закону нормального распределения. Это можно проверить с помощью специальных статистических критериев.

Алгоритм применения формулы Стерджесса

Применение формулы Стерджесса включает следующие шаги:

1. Определить общее число наблюдений в выборке - значение N
2. Подставить N в формулу и вычислить оптимальное число интервалов k
3. При необходимости округлить k до ближайшего целого числа
4. Разбить имеющиеся данные на k интервалов
5. Построить гистограмму по полученным интервалам

При этом важно избегать типичных ошибок - некорректного определения числа наблюдений, неверного округления числа интервалов и т.д.

Интерпретация результатов

Полученная с помощью формулы Стерджесса гистограмма позволяет визуализировать распределение данных. Однако на практике она не всегда идеально соответствует теоретическим представлениям.

В некоторых случаях имеет смысл скорректировать число интервалов для получения более адекватного графического представления. Тем не менее, в целом формула Стерджесса дает хорошие результаты.

Альтернативные подходы

Помимо классической формулы Стерджесса, для определения числа интервалов гистограммы можно использовать и другие подходы.

Например, формула Скотта или правило квадратного корня. Эти методы дают близкие, но не идентичные значения. Выбор конкретной формулы зависит от характера решаемой задачи.

Особенности применения формулы Стерджесса

При использовании формулы Стерджесса следует учитывать некоторые особенности.

В частности, данная формула лучше всего работает при числе наблюдений от 50 до 200. Если число наблюдений меньше 50, возрастает вероятность получения некорректных результатов. А при очень больших выборках (более 200 наблюдений) целесообразно применять альтернативные методы.

Реализация формулы Стерджесса в программном обеспечении

Многие популярные статистические пакеты, такие как SPSS, Statistica, Stata, имеют встроенные функции для автоматического расчета числа интервалов по формуле Стерджесса.

Также существуют онлайн-калькуляторы, позволяющие быстро вычислить требуемое число интервалов, задав лишь один параметр - число наблюдений.

Пример расчета с использованием формулы Стерджесса

Рассмотрим конкретный численный пример использования формулы Стерджесса.

Пусть имеется статистическая выборка объемом 128 наблюдений. Требуется разбить эти данные на интервалы и построить гистограмму.

Применяя формула Стерджесса определяет, получаем число интервалов k = 7.

Далее вычисляется величина каждого интервала и строится гистограмма с 7-ю столбцами.

Группировка данных с использованием формулы Стерджесса

Помимо построения гистограмм, формула Стерджесса часто применяется для вторичной группировки статистических данных.

Она позволяет оптимизировать число групп таким образом, чтобы свести к минимуму потерю информации и искажение анализируемой зависимости.

Пошаговое применение формулы Стерджесса

Рассмотрим более подробно, как формула Стерджесса ее решать - то есть как поэтапно ее применять для решения конкретных статистических задач.

1. Сформулировать цель использования формулы (например, определить число интервалов для гистограммы)
2. Определить исходные данные (число наблюдений в выборке и т.д.)
3. Записать формулу Стерджесса с подстановкой конкретных значений
4. Вычислить по формуле требуемый параметр (число интервалов и т.п.)
5. При необходимости округлить полученное число
6. Использовать полученный результат для решения поставленной задачи (построения гистограммы)

Как видно из приведенного алгоритма, формула Стерджесса проста в применении. Главное - четко определить конечную цель и корректно задать исходные данные.

Ошибки при использовании формулы Стерджесса

Несмотря на простоту, при применении формулы Стерджесса возможны типичные ошибки.

Например, неправильный подсчет числа наблюдений N. Эта величина должна строго соответствовать объему статистической выборки, для которой строится гистограмма.

Еще одна распространенная ошибка - некорректное округление полученного числа интервалов, что приводит к искажению конечного графика распределения.

Рекомендации по использованию формулы

Для получения корректных результатов при использовании формулы Стерджесса рекомендуется:

• Тщательно проверять входные данные
• Избегать ошибок округления
• Анализировать полученные графические построения
• При необходимости корректировать параметры

Сравнение формулы Стерджесса с альтернативными методами

Рассмотрим, чем отличается классическая формула Стерджесса от некоторых альтернативных подходов к определению числа интервалов.

Формула Скотта

Формула Скотта имеет следующий вид:

количество интервалов = 3,5*σ*n^(-1/3)

Где σ - среднеквадратичное отклонение, n - число наблюдений. Данная формула больше подходит для небольших выборок.

Правило квадратного корня

Согласно этому правилу, количество интервалов вычисляется по формуле:

количество интервалов = 1 + 3,22*log(n)

Это довольно грубое правило, полезное лишь для приблизительной оценки.

Формула Фридмана-Диакониса

Данная формула имеет вид:

h = 2*IQV*n^(-1/3)

Где IQV - межквартильный размах, n - число наблюдений, а h - ширина интервала. Формула применима для асимметричных распределений.

Выбор подходящей формулы

Как видно из сравнения, у разных формул есть свои особенности. Выбор конкретной формулы зависит от характера решаемой задачи и имеющихся в наличии данных.

Критерии выбора формулы для группировки данных

При использовании формулы Стерджесса для группировки статистических данных следует учитывать ряд критериев:

Тип исходных данных

Формула Стерджесса лучше всего подходит для интервальных вариационных рядов. Для дискретных и атрибутивных данных эффективность этой формулы снижается.

Объем выборки

Оптимальное применение формулы достигается при объеме выборки от 50 до 200 наблюдений. При меньших или больших объемах точность снижается.

Вид распределения данных

Исходный статистический ряд должен подчиняться закону нормального распределения или быть к нему близок. В противном случае результаты группировки могут быть некорректными.

Выбор альтернативной формулы

Если условия применения формулы Стерджесса не выполняются, имеет смысл использовать альтернативные формулы, например:

• Формулу Скотта
• Правило Фридмана-Диакониса
• Методы, основанные на выборочных характеристиках

Выбор конкретной альтернативной формулы зависит от особенностей решаемой задачи.