Целые числа: примеры решения и определение

Целые числа - фундаментальное математическое понятие, с которым мы сталкиваемся повсеместно в повседневной жизни. Понимание целых чисел помогает решать множество практических задач: от подсчета денег до измерения температуры. Давайте разберемся, что такое целые числа, рассмотрим их свойства и различные примеры и научимся применять целые числа на практике. Статья будет полезна всем, кто изучает математику и желает лучше разобраться в работе с целыми числами.

В математике числа, которые мы используем для счета называются натуральными. Таким образом, можно сказать, что целые числа — это натуральные числа, ноль и отрицательные числа.

Определение целых чисел

Формально, целые числа определяются как расширение множества натуральных чисел за счет добавления нуля и отрицательных чисел. Иными словами, к натуральным числам 1, 2, 3 и т.д. добавляются 0, -1, -2, -3 и т.д. Таким образом, целые числа включают:

  • Положительные целые числа (натуральные числа)
  • Нуль
  • Отрицательные целые числа

На числовой прямой целые положительные числа располагаются правее нуля, целые отрицательные - левее, а нуль находится в центре.

Примеры целых чисел

  • Положительные: 5, 45, 1085
  • Нуль: 0
  • Отрицательные: -7, -123, -4000

Основные свойства целых чисел:

  1. Множество целых чисел бесконечно
  2. Сумма, разность и произведение целых чисел - целое число
  3. Коммутативность и ассоциативность сложения и умножения
Деньги и формулы

Представление целых чисел

Целые числа можно записать различными способами:

  • В виде десятичных цифр (5, -17, 102)
  • В римской записи (III, -MMDCCXIX)
  • Словами (-девятнадцать, сто двадцать один)

Рассмотрим несколько конкретных примеров представления целых чисел:

Число Десятичная запись Римская запись Словами
56 56 LVI пятьдесят шесть
-976 -976 -CMLXXVI минус девятьсот семьдесят шесть

Для перевода целого числа из одной системы записи в другую можно использовать соответствующие таблицы и правила.

Арифметические операции над целыми числами

С целыми числами можно выполнять такие арифметические операции, как:

  • Сложение и вычитание
  • Умножение и деление
  • Возведение в степень

Рассмотрим подробнее, как выполнять различные операции на примерах.

Город на закате

Сложение целых чисел

При сложении складываются модули чисел, а знак определяется так:

  • Если слагаемые одного знака, результат положительный
  • Если слагаемые разных знаков, результат со знаком большего по модулю

Примеры сложения целых чисел:

  • 5 + 7 = 12
  • -2 + 6 = 4
  • -10 + (-30) = -40

Вычитание целых чисел

При вычитании из большего по модулю числа вычитается меньшее по модулю. Знак результата совпадает со знаком уменьшаемого.

Примеры вычитания целых чисел:

  • 10 - 4 = 6
  • -8 - (-5) = -3
  • 2 - 7 = -5

Еще примеры операций и их свойства можно найти в исходных материалах к задачам ниже.

Решение задач с целыми числами

Целые числа часто используются при решении практических задач из различных областей:

  1. Текстовые арифметические задачи
  2. Геометрические задачи
  3. Задачи физики, химии и других наук
  4. Экономические и финансовые задачи
  5. Повседневные задачи (подсчет, измерение, планирование)

Рассмотрим решение некоторых задач на целые числа.

Пример 1. Арифметическая задача

В магазин завезли 5 ящиков с яблоками по 120 яблок в каждом ящике. 187 яблок испортились. Сколько яблок осталось в продаже?

Решение:

Исходные данные:

  • Ящиков яблок: 5 штук
  • В 1 ящике по 120 яблок
  • Испортилось яблок: 187 штук

Найдем сначала общее количество яблок:

5 ящиков по 120 яблок = 5 * 120 = 600 яблок

Затем найдем количество яблок, оставшихся в продаже:

600 яблок - 187 испорченных яблок = 600 - 187 = 413 яблок

Ответ: в продаже осталось 413 яблок.

Пример 2. Геометрическая задача

В прямоугольном параллелепипеде со сторонами 10 см, 40 см и 50 см вырезали прямоугольную призму со сторонами 30 см, 20 см и 40 см. Каков объем оставшейся фигуры?

Решение:

Находим объем исходного параллелепипеда:

V1 = a*b*c = 10*40*50 = 20000 см3

Объем вырезанной призмы:

V2 = 5*10*20 = 1000 см3

Находим объем оставшейся фигуры:

V = V1 - V2 = 20000 - 1000 = 19000 см3

Результат показывает, что объем убыл на 1000 см3.

Решение задач с целыми числами (продолжение)

Рассмотрим еще несколько примеров задач с целыми числами.

Пример 3. Физическая задача

Температура воздуха в полдень была -5°C. К вечеру она повысилась на 8°C. Какой стала температура вечером?

Решение:

Исходные данные:

  • Начальная температура: -5°C
  • Изменение температуры: +8°C

Используем целые числа для описания изменения температуры:

  • Начальная температура: -5°C
  • Увеличение на 8°C: +8°C

Находим конечную температуру:

-5°C + 8°C = 3°C

Ответ: К вечеру температура стала 3°C.

Пример 4. Экономическая задача

Компания взяла кредит в 500 000 рублей под 10% годовых на 2 года. Какая сумма подлежит возврату банку через 2 года?

Решение:

Исходные данные:

  • Сумма кредита: 500 000 рублей
  • Срок кредита: 2 года
  • Процентная ставка: 10% годовых

Находим сумму процентов за 1-й год:

500 000 * 0.1 = 50 000 рублей

За 2-й год:

550 000 * 0.1 = 55 000 рублей

Общая сумма процентов за 2 года составляет:

50 000 + 55 000 = 105 000 рублей

Следовательно, сумма к возврату банку через 2 года:

500 000 + 105 000 = 605 000 рублей

Пример 5. Задача из повседневной жизни

В кошельке было 960 рублей. На проезд туда и обратно потратили 240 рублей. В магазине купили продуктов на 420 рублей. Сколько денег осталось в кошельке?

Решение:

Решаем поэтапно:

  1. Изначально в кошельке: 960 рублей
  2. Потратили на проезд: - 240 рублей
  3. Осталось: 960 - 240 = 720 рублей
  4. Потратили в магазине: - 420 рублей
  5. Итого осталось: 720 - 420 = 300 рублей

В кошельке осталось 300 рублей.

Статья закончилась. Вопросы остались?
Комментарии 0
Подписаться
Я хочу получать
Правила публикации
Редактирование комментария возможно в течении пяти минут после его создания, либо до момента появления ответа на данный комментарий.