Целые числа - фундаментальное математическое понятие, с которым мы сталкиваемся повсеместно в повседневной жизни. Понимание целых чисел помогает решать множество практических задач: от подсчета денег до измерения температуры. Давайте разберемся, что такое целые числа, рассмотрим их свойства и различные примеры и научимся применять целые числа на практике. Статья будет полезна всем, кто изучает математику и желает лучше разобраться в работе с целыми числами.
В математике числа, которые мы используем для счета называются натуральными. Таким образом, можно сказать, что целые числа — это натуральные числа, ноль и отрицательные числа.
Определение целых чисел
Формально, целые числа определяются как расширение множества натуральных чисел за счет добавления нуля и отрицательных чисел. Иными словами, к натуральным числам 1, 2, 3 и т.д. добавляются 0, -1, -2, -3 и т.д. Таким образом, целые числа включают:
- Положительные целые числа (натуральные числа)
- Нуль
- Отрицательные целые числа
На числовой прямой целые положительные числа располагаются правее нуля, целые отрицательные - левее, а нуль находится в центре.
Примеры целых чисел
- Положительные: 5, 45, 1085
- Нуль: 0
- Отрицательные: -7, -123, -4000
Основные свойства целых чисел:
- Множество целых чисел бесконечно
- Сумма, разность и произведение целых чисел - целое число
- Коммутативность и ассоциативность сложения и умножения

Представление целых чисел
Целые числа можно записать различными способами:
- В виде десятичных цифр (5, -17, 102)
- В римской записи (III, -MMDCCXIX)
- Словами (-девятнадцать, сто двадцать один)
Рассмотрим несколько конкретных примеров представления целых чисел:
Число | Десятичная запись | Римская запись | Словами |
56 | 56 | LVI | пятьдесят шесть |
-976 | -976 | -CMLXXVI | минус девятьсот семьдесят шесть |
Для перевода целого числа из одной системы записи в другую можно использовать соответствующие таблицы и правила.
Арифметические операции над целыми числами
С целыми числами можно выполнять такие арифметические операции, как:
- Сложение и вычитание
- Умножение и деление
- Возведение в степень
Рассмотрим подробнее, как выполнять различные операции на примерах.

Сложение целых чисел
При сложении складываются модули чисел, а знак определяется так:
- Если слагаемые одного знака, результат положительный
- Если слагаемые разных знаков, результат со знаком большего по модулю
Примеры сложения целых чисел:
- 5 + 7 = 12
- -2 + 6 = 4
- -10 + (-30) = -40
Вычитание целых чисел
При вычитании из большего по модулю числа вычитается меньшее по модулю. Знак результата совпадает со знаком уменьшаемого.
Примеры вычитания целых чисел:
- 10 - 4 = 6
- -8 - (-5) = -3
- 2 - 7 = -5
Еще примеры операций и их свойства можно найти в исходных материалах к задачам ниже.
Решение задач с целыми числами
Целые числа часто используются при решении практических задач из различных областей:
- Текстовые арифметические задачи
- Геометрические задачи
- Задачи физики, химии и других наук
- Экономические и финансовые задачи
- Повседневные задачи (подсчет, измерение, планирование)
Рассмотрим решение некоторых задач на целые числа.
Пример 1. Арифметическая задача
В магазин завезли 5 ящиков с яблоками по 120 яблок в каждом ящике. 187 яблок испортились. Сколько яблок осталось в продаже?
Решение:
Исходные данные:
- Ящиков яблок: 5 штук
- В 1 ящике по 120 яблок
- Испортилось яблок: 187 штук
Найдем сначала общее количество яблок:
5 ящиков по 120 яблок = 5 * 120 = 600 яблок
Затем найдем количество яблок, оставшихся в продаже:
600 яблок - 187 испорченных яблок = 600 - 187 = 413 яблок
Ответ: в продаже осталось 413 яблок.
Пример 2. Геометрическая задача
В прямоугольном параллелепипеде со сторонами 10 см, 40 см и 50 см вырезали прямоугольную призму со сторонами 30 см, 20 см и 40 см. Каков объем оставшейся фигуры?
Решение:
Находим объем исходного параллелепипеда:
V1 = a*b*c = 10*40*50 = 20000 см3
Объем вырезанной призмы:
V2 = 5*10*20 = 1000 см3
Находим объем оставшейся фигуры:
V = V1 - V2 = 20000 - 1000 = 19000 см3
Результат показывает, что объем убыл на 1000 см3.
Решение задач с целыми числами (продолжение)
Рассмотрим еще несколько примеров задач с целыми числами.
Пример 3. Физическая задача
Температура воздуха в полдень была -5°C. К вечеру она повысилась на 8°C. Какой стала температура вечером?
Решение:
Исходные данные:
- Начальная температура: -5°C
- Изменение температуры: +8°C
Используем целые числа для описания изменения температуры:
- Начальная температура: -5°C
- Увеличение на 8°C: +8°C
Находим конечную температуру:
-5°C + 8°C = 3°C
Ответ: К вечеру температура стала 3°C.
Пример 4. Экономическая задача
Компания взяла кредит в 500 000 рублей под 10% годовых на 2 года. Какая сумма подлежит возврату банку через 2 года?
Решение:
Исходные данные:
- Сумма кредита: 500 000 рублей
- Срок кредита: 2 года
- Процентная ставка: 10% годовых
Находим сумму процентов за 1-й год:
500 000 * 0.1 = 50 000 рублей
За 2-й год:
550 000 * 0.1 = 55 000 рублей
Общая сумма процентов за 2 года составляет:
50 000 + 55 000 = 105 000 рублей
Следовательно, сумма к возврату банку через 2 года:
500 000 + 105 000 = 605 000 рублей
Пример 5. Задача из повседневной жизни
В кошельке было 960 рублей. На проезд туда и обратно потратили 240 рублей. В магазине купили продуктов на 420 рублей. Сколько денег осталось в кошельке?
Решение:
Решаем поэтапно:
- Изначально в кошельке: 960 рублей
- Потратили на проезд: - 240 рублей
- Осталось: 960 - 240 = 720 рублей
- Потратили в магазине: - 420 рублей
- Итого осталось: 720 - 420 = 300 рублей
В кошельке осталось 300 рублей.