Знания о равнобедренном треугольнике пригодятся не только школьникам на уроках геометрии, но и во многих сферах повседневной жизни. Например, строители используют свойства равнобедренного треугольника в расчетах для возведения зданий, а дизайнеры — при проектировании интерьеров. Давайте разберемся подробнее, что такое равнобедренный треугольник, какие у него основные свойства и признаки, и как доказать, что перед нами именно равнобедренный треугольник.
Определение равнобедренного треугольника
Начнем с формального определения. Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.
На рисунке изображен равнобедренный треугольник ABC. Здесь AB = AC, то есть стороны AB и AC равны. Эти две равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника. Сторону BC, которая не равна двум другим сторонам, называют основанием равнобедренного треугольника.
В отличие от равнобедренного треугольника, у равностороннего треугольника все три стороны равны. Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, но не наоборот — далеко не каждый равнобедренный треугольник является равносторонним.
Основные свойства равнобедренного треугольника
У равнобедренного треугольника есть два важных свойства, касающихся его углов. Давайте сформулируем и докажем эти свойства.
пункт 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Это свойство легко доказать с помощью биссектрисы. Рассмотрим на рисунке равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. Проведем в нем биссектрису AD. Получились два треугольника ABD и ACD, которые равны по первому признаку равенства треугольников (сторона AD общая, AB = AC и AD делит угол BAC пополам). Значит, в этих треугольниках равны соответственные углы, в частности ∠ABD = ∠ACD. Но ∠ABD и ∠CBD, ∠ACD и ∠CAD — вертикальные углы, значит они равны. Получаем, что ∠CBD = ∠CAD, то есть углы при основании BC действительно равны.
пункт 2. Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его медианой и высотой.
Это свойство тоже нетрудно доказать. Возьмем тот же треугольник ABC и его биссектрису AD. Как мы уже выяснили, треугольники ABD и ACD равны, а значит равны их соответствующие элементы: BD = CD. Но тогда точка D является серединой стороны BC, то есть AD — медиана нашего треугольника. Кроме того, в этих треугольниках ∠ADB = ∠ADC = 90° (они равны как вертикальные). Значит, AD⊥BC, то есть AD — высота треугольника ABC.
Итак, мы доказали два важных свойства равнобедренного треугольника, касающихся его углов и биссектрисы, медианы, высоты, проведенных к основанию. Эти свойства нам помогут определить, является ли треугольник равнобедренным.
Далее перейдем к основным признакам равнобедренного треугольника и рассмотрим, как доказать, что треугольник равнобедренный.
Основные признаки равнобедренного треугольника
Существует три основных признака, по которым можно определить, что треугольник является равнобедренным:
- Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
- Если высота треугольника является медианой, то он равнобедренный.
- Если две стороны треугольника равны, то он равнобедренный.
Давайте последовательно докажем эти три признака.
Начнем с первого признака. Пусть дан треугольник ABC, у которого ∠B = ∠C. Отразим его слева направо относительно стороны AB и получим треугольник A1BC1, где C1 — точка пересечения стороны AB с лучом AC1. У этих двух треугольников ABC и A1BC1 по построению ∠B = ∠C1 и ∠C = ∠B (вертикальные углы равны). Кроме того, они имеют общую сторону AB. Значит, эти треугольники равны по второму признаку равенства, а в равных треугольниках равны соответственные элементы. В частности, AC = BC1, но BC1 = BC, так как C1 лежит на луче AC1. Получаем, что AC = BC, то есть наш треугольник ABC действительно равнобедренный.
Переходим ко второму признаку — если в треугольнике ABC высота AD совпадает с медианой (точка D лежит на стороне BC), то по теореме о свойстве высоты, медианы и биссектрисы ΔABD = ΔACD. А в равных треугольниках равны соответственные стороны, в частности AB = AC. Значит, наш треугольник ABC — равнобедренный.
Третий признак является простым следствием из определения равнобедренного треугольника: если в некотором треугольнике две стороны равны, то по определению он равнобедренный.
Заключение
Вот три основных признака, по которым можно определить, что треугольник является равнобедренным. Надеемся, теперь вы сможете справиться с решением геометрических задач.
