Аксиомы являются фундаментом научного знания. Без аксиом невозможно построить логически непротиворечивую теорию и доказать сколь-нибудь значимые утверждения. Но что же на самом деле представляют собой аксиомы? Давайте разберемся.
Определение аксиомы
В самом общем смысле аксиома – это некое исходное положение, которое принимается в рамках данной теории истинным без необходимости доказательства. Аксиома служит базисом, отправной точкой для дальнейшего логического вывода утверждений, именуемых теоремами.
Примеры аксиом известны нам еще со школьного курса геометрии. Это, например, утверждение о том, что "через две точки можно провести только одну прямую линию" или о равенстве всех радиусов одной окружности. Эти положения не требуют строгих доказательств, мы принимаем их интуитивно, как нечто само собой разумеющееся.
Как отмечал еще Аристотель, аксиома должна быть первоначальным, исходным положением, не опирающимся ни на что, кроме здравого смысла.
Понятие "аксиома" имеет и вненаучный смысл. Говорят о социальных, экономических и других аксиомах, под которыми понимают установленные обществом неписаные правила и условности. К примеру, использование денег в качестве эквивалента обмена – это социальная аксиома, которую мы не подвергаем сомнению.
Аксиома в математике
В математике под аксиомами традиционно понимают некие "самоочевидные истины", лежащие в основе той или иной теории. Обратимся к истокам.
- Впервые термин "аксиома" употребил древнегреческий философ Аристотель в IV веке до н.э. для обозначения очевидных, не требующих доказательств утверждений.
- Знаменитый математик Евклид в III веке до н.э. в своем трактате "Начала" выделил ряд аксиом, положенных им в основу геометрии. Среди них знаменитый постулат о параллельных прямых.
- На протяжении веков аксиомы воспринимались математиками как непреложные истины, не подлежащие сомнению. Так, Владимир Даль в XIX веке давал аксиоме определение "бесспорной очевидности".
Однако со временем это представление претерпело серьезные изменения. Попытки опровергнуть или доказать пятый постулат Евклида привели в конечном счете к созданию неевклидовых геометрий, где это положение не выполнялось. Это заставило математиков кардинально пересмотреть свое отношение к понятию аксиомы.
Кризис оснований математики
Открытие неевклидовых геометрий привело к настоящему кризису в математическом сообществе. Ведь если даже такие фундаментальные понятия как параллельность оказались произвольным допущением, то что тогда можно считать истинным в математике?
Многие математики пришли к выводу, что необходимо заново пересмотреть основы науки и доказать ее непротиворечивость. С этой целью немецкий математик Давид Гильберт предпринял в начале XX века попытку полной формализации и аксиоматизации математического знания.
Аксиоматический метод
Под аксиоматическим методом понимается такой подход к построению теории, когда в ее основание закладывается некоторая система аксиом, а затем из этих аксиом логическим путем выводятся все прочие утверждения (теоремы).
Применение аксиоматического метода требует:
- четкого определения базовых понятий теории;
- формулировки набора аксиом;
- установления правил логического вывода;
- доказательства утверждений (теорем) на базе аксиом.
Такой подход позволяет придать математическим рассуждениям и доказательствам предельную строгость и непротиворечивость.
Требования к системе аксиом
Для того чтобы аксиоматический метод работал, система принимаемых без доказательств аксиом должна удовлетворять ряду важных критериев:
- Независимость аксиом (ни одна из аксиом не может быть логически выведена из других аксиом).
- Непротиворечивость аксиом (аксиомы не должны противоречить друг другу).
- Полнота аксиом (достаточность аксиом для вывода всех теорем данной области знания).
Выполнение этих требований гарантирует возможность построения на базе заданной системы аксиом логически связной теории.
Роль аксиом в современной науке
Несмотря на кризисные явления в основаниях математики в начале XX века, аксиоматический метод продолжает играть ключевую роль в этой области знания. Более того, он находит все более широкое применение и в других науках.
Так, в физике используется понятие постулатов – исходных положений теории, не требующих экспериментальной проверки. Классическим примером физической аксиоматики являются постулаты теории относительности Эйнштейна.
В экономической науке при моделировании часто вводятся допущения, например о рациональности поведения участников рынка. Фактически это те же аксиомы.
Таким образом, несмотря на кажущуюся условность, аксиомы продолжают оставаться фундаментом построения научных теорий в самых различных областях знания.
