Функции с экстремумами встречаются повсеместно - от физических процессов до экономики. Умение находить точки минимума и максимума позволяет оптимизировать процессы, минимизировать затраты и максимизировать прибыль. Давайте разберемся, что такое минимум и максимум функции, как их искать и для чего они нужны.
1. Основные определения
Функция - это зависимость одной переменной от другой. Например, если расстояние автомобиля зависит от времени движения, то это функция S(t).
Область определения функции - это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл и может быть вычислена.
Экстремум функции - это ее наибольшее или наименьшее значение. Различают максимум и минимум .
Точка минимума функции - такая точка, в окрестности которой функция принимает большие значения.
Точка максимума функции - такая точка, в окрестности которой функция принимает меньшие значения.
Если рассматривать функцию на конкретном отрезке, то различают локальный и глобальный экстремум:
- Локальный - наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки
- Глобальный - на отрезке в целом
То есть глобальный экстремум может находиться в точке локального экстремума, а может - на границе отрезка.
Значение функции в точке минимума называют минимумом функции , в точке максимума - максимумом функции .
На графике функции точки экстремума выглядят так:
Как видно на рисунке, в точках минимума происходит переход от убывания функции к возрастанию, в точках максимума - наоборот.
2. Необходимое условие экстремума
Для того, чтобы функция имела экстремум в некоторой точке, выполняется следующая теорема:
Если функция f(x) имеет экстремум в точке x = x0, то в ней производная либо равна 0, либо не существует.
Это и есть необходимое условие экстремума. Значит для нахождения точек экстремума нужно искать точки, в которых производная равна нулю или не определена. Такие точки называются соответственно стационарными и критическими.
Находятся они просто:
- Стационарные точки - решая уравнение f'(x) = 0
- Критические точки - те, где производная не определена на области существования функции
Например, рассмотрим функцию:
Ее производная равна:
Видно, что стационарные точки: x1 = -2, x2 = 1. Других критических точек нет. Значит в этих двух точках возможен экстремум функции.
3. Достаточные условия экстремума
Чтобы определить, является ли найденная критическая точка точкой максимума или минимума, используются достаточные условия экстремума:
Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с "-" на "+", то это точка минимума. Если наоборот - с "+" на "-", то максимума.
То есть если до критической точки функция убывала, а после возрастала - значит эта точка дно, т.е. минимум. И наоборот для максимума.
Рассмотрим пример с функцией с предыдущего рисунка. В точке x = -2 производная меняет знак с "-" на "+". Значит, согласно достаточному условию, эта точка соответствует минимуму функции. А в точке x = 1 наоборот - там максимум.
4. Алгоритм исследования функции на экстремумы
Теперь можно сформулировать полный алгоритм исследования функции на экстремумы:
- Найти производную функции f'(x)
- Решить уравнение f'(x) = 0 и найти стационарные точки
- Определить критические точки, где производная не определена или не существует
- Исследовать знаки производной до и после каждой критической точки
- Согласно достаточным условиям определить, где точки минимума и максимума
Давайте подробно разберем это на конкретном примере. Пусть дана функция:
1) Ее производная равна f'(x) = 3x2 - 6x.
2) Приравниваем производную к нулю: 3x2 - 6x = 0. Решаем это уравнение и получаем стационарные точки x1 = 0 и x2 = 2.
3) Других критических точек нет.
4) Исследуем знаки производной на интервалах:
5) Видно, что в точке x = 0 производная меняет знак с "-" на "+". Значит, это точка минимума функции. А в точке x = 2 наоборот - с "+" на "-", соответственно это максимум.
5. Экстремумы элементарных функций
Для некоторых элементарных функций существуют определенные закономерности в поведении их экстремумов. Рассмотрим для примера
Для степенных функций справедливо следующее утверждение: если показатель степени четный и больше 2, то функция не может иметь экстремумов на всей числовой прямой. Это легко проверить, найдя производную:
Так как степень является четным числом, производная всегда положительна. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума, он невозможен.
Если же показатель степени нечетный, то функция имеет единственную точку экстремума (минимум или максимум) в начале координат. Это можно проверить, подставив x = 0 в производную.
Например, рассмотрим функцию y = x5. Ее производная равна:
Подставляя в нее x = 0, получаем, что в начале координат производная равна нулю. И знаки производной до и после нуля разные. Следовательно, согласно достаточному условию, в точке x = 0 должен быть экстремум.
Аналогичные рассуждения применимы и для показательных, логарифмических и тригонометрических функций. Для них также есть определенные закономерности в поведении экстремумов.
6. Прикладное значение экстремумов
Нахождение точек минимума и максимума функций имеет большое практическое значение в различных областях.
Например, в физике и технике определение экстремумов позволяет найти оптимальные режимы работы устройств и механизмов. Рассмотрим задачу нахождения оптимальной скорости движения автомобиля с точки зрения расхода топлива.
Здесь Q(v) - расход топлива, зависящий от скорости. Чтобы найти скорость, при которой расход будет минимальным, достаточно воспользоваться алгоритмом поиска экстремума функции.
7. Экономические оптимизационные задачи
В экономике точки экстремума часто используются для решения задач оптимизации и повышения эффективности.
Например, для максимизации прибыли или минимизации издержек. Рассмотрим классическую задачу производителя о размере партии товара, которую нужно произвести за один цикл для получения максимальной прибыли.
Здесь P(x) - прибыль от продажи х единиц товара за цикл. Чтобы найти оптимальный размер партии, достаточно воспользоваться алгоритмом нахождения экстремума.
8. Нахождение экстремума на отрезке
Для нахождения наименьшего или наибольшего значения функции на промежутке используется связь между локальным и глобальным экстремумом:
- Найти все точки локального экстремума функции на данном отрезке
- Найти значение функции в концах отрезка
- Сравнить значения функций в найденных точках и выбрать наименьшее и наибольшее
Эти значения и будут соответствовать глобальному минимуму и максимуму на отрезке.
Рассмотрим пример:
Здесь видны две точки локального экстремума x1 и x2. Дополнительно сравниваем значения функции на концах отрезка: f(0) = 2 и f(10) = 3. Среди всех 5 значений выбираем минимум и максимум.
9. Анализ монотонности функции
Помимо поиска экстремумов, анализ производной позволяет определить интервалы монотонности функции, т.е. промежутки ее возрастания и убывания.
Для этого достаточно проанализировать знак производной:
- f'(x) > 0 - функция возрастает
- f'(x) < 0 - функция убывает
Рассмотрим функцию:
10. Исследование функции комплексно
Таким образом, производная позволяет комплексно исследовать свойства функции: найти экстремумы, промежутки монотонности, асимптоты и другие важные характеристики.
Это чрезвычайно полезно как с теоретической, так и прикладной точек зрения в физике, экономике, оптимизации и многих других областях.
