Логическое следование - одно из фундаментальных понятий логики, позволяющее строить обоснованные рассуждения и доказательства. Давайте разберемся, что это такое и как оно работает на практике.
Определение логического следования
Логическое следование - это отношение между посылками и заключением, при котором заключение с необходимостью и обоснованно следует из посылок. Иными словами, если посылки истинны, то и заключение должно быть истинным.
Логическое следование играет ключевую роль в построении рассуждений и является основой для формулировки определений, теорем, научных законов. Оно тесно связано с такими понятиями как логический закон и модель.
Предложение X логически следует из предложений класса К, если и только если каждая модель класса К есть также модель предложения X. (А. Тарский)
Таким образом, если посылки истинны в рамках некой модели, то заключение также должно быть истинным в этой модели. Это основной принцип логического следования.
Логическое следование и истинность
Как уже отмечалось, из истинных посылок при правильном логическом следовании всегда получается истинное заключение. Но что происходит в других случаях?
- Из ложного утверждения (посылки) может следовать как истинное, так и ложное заключение.
- Тавтология (тождественно истинное высказывание) следует из любых посылок - как истинных, так и ложных.
- Из противоречия (ложного высказывания) следует любое заключение.
Кроме того, различают фактуальные, аналитические и эмпирические высказывания с точки зрения логического следования:
- Фактуальные высказывания могут быть как истинными, так и ложными в зависимости от фактов.
- Аналитические высказывания (логики и математики) могут быть проверены на истинность путем логического анализа.
- Для проверки эмпирических высказываний требуется обращение к опытным данным.
Виды логического следования
Логическое следование может пониматься в двух основных смыслах:
- Семантическое логическое следование (обозначается ⊨) - семантическая связь между посылками и заключением на основе их истинностных значений.
- Выводимость в логическом исчислении (обозначается ⊢ ) - синтаксическая связь, основанная на правилах вывода в рамках формальной системы.
В классической логике множества истинных высказываний семантического и синтаксического следования совпадают. Однако такое понимание имеет некоторые парадоксы.
Кроме того, есть проблема смешения объектного языка, на котором формулируются рассуждения, и метаязыка, который используется для описания свойств этого объектного языка. Различные подходы к разрешению этих проблем привели к появлению нескольких теорий логического следования.
Правила логического следования
В классической логике для формализации логического следования используется материальная импликация (обозначается символом →). Она задает базовые правила вывода одних высказываний из других, такие как модус поненс и модус толленс :
- A → B, A ⊢ B - из истинности A и импликации "если A то B" следует истинность B
- A → B, ¬B ⊢ ¬A - если из "если A то B" и ложности B следует ложность A (косвенное доказательство)
Рассмотрим применение этих правил на простом примере:
A: Сегодня идет дождь | B: Дороги мокрые |
Имеем импликацию: A → B: Если идет дождь, то дороги мокрые.
Допустим, известно, что сегодня идет дождь (A истинно). Тогда по правилу модус поненс получаем, что дороги действительно мокрые (B также истинно).
А если известно, что сегодня дороги сухие (¬B), то по модус толленсу заключаем, что не идет дождь (¬A).
Помимо материальной импликации, в логике рассматриваются строгая импликация, релевантная импликация и другие виды, которые по-разному формализуют логическое следование и позволяют избежать некоторых парадоксов классической логики.
Правила логического следования
Помимо материальной импликации, в логике рассматриваются строгая импликация, релевантная импликация и другие виды, которые по-разному формализуют логическое следование и позволяют избежать некоторых парадоксов классической логики.
Применение правил логического следования
Рассмотрим более развернутые примеры применения основных правил логического следования - модус поненс и модус толленс. Возьмем для этого следующие высказывания:
- A: Число делится на 3
- B: Число делится на 9
Логическая связь между ними имеет вид:
A → B: Если число делится на 3, то оно делится и на 9.
Применим модус поненс:
- Дано: Число 18 делится на 3 (A истинно)
- Имеем импликацию: Если число делится на 3, то оно делится на 9 (A → B)
- По модус поненсу: Число 18 делится на 9 (B истинно)
А теперь воспользуемся модус толленсом:
- Дано: Число 16 не делится на 9 (¬B истинно)
- Имеем импликацию: Если число делится на 3, то оно делится на 9 (A → B)
- По модус толленсу: Число 16 не делится на 3 (¬A истинно)
Логическое следование в математических доказательствах
Правила логического следования, такие как модус поненс и модус толленс, широко используются в математических доказательствах. Рассмотрим классический пример:
- D: у - рациональное число
- E: квадратный корень из у - иррациональное число
Имеем теорему (импликацию):
D → E: Если y - рациональное число, то квадратный корень из y - иррациональное число.
Доказательство от противного с использованием модус толленс:
- Предположим, что квадратный корень из некоторого рационального числа y является рациональным числом (¬E)
- Но тогда по импликации D → E и из ¬E получаем, что y не является рациональным числом (¬D) - противоречие исходному утверждению
- Значит, наше предположение неверно, т.е. квадратный корень из рационального числа всегда иррационален
Это простой, но наглядный пример действия логического следования при математическом доказательстве утверждений.
Что означает логическое следование
Итак, подводя итог, можно дать следующее определение: логическое следование - это отношение между посылками и заключением, при котором заключение обоснованно выводится из посылок на основе правил логики.
Главный смысл логического следования заключается в передаче истинности от посылок к заключению. Если посылки истинны, а правила вывода соблюдены, то и заключение должно быть истинным.
Это ключевое свойство логического следования лежит в основе построения рассуждений, доказательств, научной аргументации. Правила следования выполняют роль своеобразного мостика или транспортера истинности от одних высказываний к другим. Без этого механизма невозможно было бы обосновать ни один логический переход в доказательствах.
Логические операции следования
Для формализации правил логического следования в логике вводятся специальные логические операции, в частности импликация (материальная, строгая и др.). Импликация и ее разновидности задают функцию перехода от истинности посылок к истинности заключения.
Другими словами, логическая операция следования, реализуемая через импликацию, формально описывает процесс вывода одних высказываний из других в соответствии с законами и правилами логики.
Логические операции следования
Другими словами, логическая операция следования, реализуемая через импликацию, формально описывает процесс вывода одних высказываний из других в соответствии с законами и правилами логики.
Свойства логического следования
Рассмотрим основные свойства отношения логического следования:
- Рефлексивность: каждое высказывание A логически следует из самого себя
- Транзитивность: если A следует из B, а B следует из C, то и A следует из C
- Монотонность: если A следует из B, то добавление новых посылок сохраняет следование
Эти свойства выполняются как для семантического, так и для синтаксического (выводимости) понимания логического следования. Их можно формально доказать, опираясь на определения.
Парадоксы следования
В классической логике существуют так называемые парадоксы логического следования. Например:
- Из ложного утверждения может следовать что угодно
- Любое утверждение следует из противоречия
Эти парадоксы противоречат интуитивному пониманию следования. Ряд современных логических систем пытается их преодолеть путем модификации определения следования и правил вывода.
Приложения логического следования
Помимо теоретической логики, понятие логического следования находит применение в:
- Искусственном интеллекте
- Лингвистике
- Правоведении
- Семиотике
В этих областях активно используются формальные модели на основе логики предикатов, онтологии, продукционных правил и других систем, реализующих логический вывод.
Автоматизация логического следования
В связи с бурным прогрессом вычислительной техники в последние десятилетия активно ведутся работы по автоматизации процессов логического вывода и доказательства теорем.
Разработано множество экспертных систем, которые на основе заложенных правил логического следования способны самостоятельно получать новые знания путем логических рассуждений в конкретных предметных областях.
