В какой треугольник можно вписать окружность и для чего это нужно

Как построить окружность внутри треугольника? Этот вопрос интересует многих, кто изучает геометрию. В этой статье мы разберем, в какие треугольники можно вписать окружность, рассмотрим свойства вписанных окружностей и выведем формулы для радиусов окружностей, вписанных в разные виды треугольников.

Общие сведения о вписанных окружностях

Вписанной окружностью треугольника называется окружность, которая касается всех трех сторон этого треугольника. Центр такой окружности всегда лежит внутри треугольника. Основное свойство вписанной окружности состоит в том, что расстояния от ее центра до каждой из сторон треугольника одинаковы и равны радиусу этой окружности.

Окружность можно вписать далеко не в любой треугольник. Обязательным условием является равенство суммы расстояний от какой-либо внутренней точки треугольника до его сторон радиусу этой окружности. То есть если взять произвольную точку внутри треугольника и измерить расстояния от нее до всех трех сторон, то их сумма должна быть постоянной. Именно такая точка и будет центром вписанной окружности.

Для примера можно вписать окружность в равносторонний, равнобедренный или прямоугольный треугольник. А вот в произвольный остроугольный или тупоугольный треугольник окружность вписать нельзя.

Формулы радиусов вписанных окружностей

Для нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник, используются разные формулы в зависимости от вида этого треугольника. Рассмотрим основные из них.

Общая формула

Радиус _r окружности, вписанной в произвольный треугольник со сторонами a , b , c , можно найти по формуле:

r = S/(p), где S - площадь треугольника, p = ( a + b + c )/2 - полупериметр.

Для равнобедренного треугольника

Если треугольник равнобедренный, то формула упрощается:

r = b√(4a2 - b2)/4a, где a - боковая сторона, b - основание.

Для прямоугольного треугольника (2 раза)

В прямоугольном треугольнике радиус _r вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = (ab)/(a + b + c), где a , b - катеты, c - гипотенуза.

Эти формулы можно строго математически вывести из теорем геометрии. Для наглядности приведем вывод одной из них - радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AB = a, BC = b и гипотенузой AC = c (Рис. 1).
2. Проведем медиану BM. Она делит сторону AC пополам в точке M.
3. Из точки M опустим перпендикуляр MN на гипотенузу. Тогда точка N будет центром окружности, вписанной в triangleABC.
4. По теореме Пифагора получаем: MN^2 = MB*NM. Но MB = BM = c/2, а NM = r 是 радиис вписанной окружности.
5. Подставляя это в формулу, имеем: r^2 = (c/2)*(c/2) = ab/c. Отсюда и получается нужная формула для радиуса.

Для удобства все рассмотренные формулы сведем в таблицу:

Используя эти формулы, можно легко найти радиус вписанной окружности в любой треугольник по его сторонам. Нужно только определить, к какому виду относится данный треугольник, и подставить соответствующие значения сторон в нужную формулу.

Примеры задач

Рассмотрим несколько примеров типовых задач на вычисление радиусов вписанных окружностей и решим их.

Задача 1. В равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 6 см вписана окружность. Найти радиус этой окружности.

Решение. По условию треугольник равнобедренный. Обозначим: основание b = 10 см, боковая сторона a = 6 см. Нам нужно найти радиус r вписанной окружности. Используем формулу для равнобедренного треугольника:

r = b√(4a² - b²)/4a = 10√(4·36 - 100)/24 = 2 (см).

Ответ: радиус равен 2 см.

Как видно на этом примере, с помощью формул радиус вписанной окружности в треугольник можно найти довольно просто, нужно только правильно определить тип треугольника и подставить значения.

Задачи на нахождение сторон треугольника по радиусу

Рассмотрим теперь обратную задачу - нахождение длины стороны треугольника, если известен радиус вписанной в него окружности.

Задача 2. В прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c вписана окружность радиусом R = 4 см. Найдите длину гипотенузы c этого треугольника.

Решение. Используем формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

R = (ab)/(a + b + c)

Отсюда получаем:

c = ab/R = ab/4 = 5 (см)

Ответ: длина гипотенузы c = 5 см.

Задачи с геометрическими построениями

Применить свои знания о вписанных окружностях можно также в задачах на построение, когда нужно геометрически изобразить треугольник и вписанную в него окружность.

Задача 3. Постройте треугольник ABC с углом C = 60° и стороной AB = 6 см. Затем впишите в него окружность и найдите ее радиус.

Решение. Выполняем построение:

1. Строим отрезок AB = 6 см.
2. Строим угол C = 60°. Получаем треугольник ABC.
3. Опускаем из вершины C перпендикуляр CD на сторону AB.
4. Точка D - центр вписанной окружности. Радиус r = CD.
5. Измеряем CD = 2 см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 2 см.