Загадочная теорема о вписанном угле известна еще со времен Евклида, но до сих пор интригует своей простой формулировкой и неочевидным доказательством. Давайте разберемся в ней подробно.
История открытия теоремы о вписанном угле
Впервые теорема о вписанном угле появилась в трудах древнегреческого математика Евклида примерно в 300 году до нашей эры. Она стала частью его знаменитой работы «Начала», где были систематизированы основы геометрии.
Данная теорема оказалась важной для дальнейшего развития геометрии. Она позволяла вычислять величины некоторых углов, опираясь только на свойства окружности. Это открывало новые возможности в решении геометрических задач.
Формулировка теоремы о вписанном угле
Чтобы сформулировать теорему, нужно ввести понятие вписанного угла . Это угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.
Также используется понятие дуги окружности , на которую опирается вписанный угол. Это дуга, заключенная между сторонами угла.
Теорема о вписанном угле:
Вписанный угол равен половине дуги окружности, на которую он опирается.
То есть если известна дуга AC, то искомый вписанный угол ABC вычисляется по формуле:
Доказательство теоремы о вписанном угле для 3 случаев
Рассмотрим несколько случаев взаимного расположения вписанного угла и центра окружности.
Первый случай: луч через центр окружности
Пусть одна из сторон угла ABC проходит через центр O окружности:
Тогда треугольник ABO — равнобедренный (OA = OB, по условию). Следовательно:
- ΔABO = ΔOBA, поскольку это углы при основании равнобедренного треугольника
- ∠AOC является внешним углом треугольника ABO и равен ΔABO + ΔOBA
Но ∠AOC — центральный угол, а его градусная мера равна мере дуги АЦ. Подставляя, получаем:
Следовательно, вписанный угол ΔABC действительно измеряется половиной дуги AC.
Второй случай: центр между сторонами угла
Если центр O лежит внутри угла ABC, то через вершину A можно провести диаметр BD. Он разделит угол ABC на два меньших угла, а дугу АС на две дуги — AD и DC:
Теперь можно применить доказательство для первого случая отдельно к каждому углу (ΔABD и ΔCBD). Тогда получим:
| ΔABD = | 1/2 AD |
| ΔCBD = | 1/2 DC |
Складывая эти равенства, выводим:
Заметим, что дуга АС является объединением дуг AD и DC. Поэтому имеем доказательство теоремы и для второго случая.
Третий случай: центр вне угла
Рассмотрим ситуацию, когда центр окружности O находится вне вписанного угла ABC. Тогда через вершину A можно провести диаметр BD, пересекающий сторону BC угла ABC в некоторой точке C:
Угол ABC при этом разбивается на два угла: ΔABD и ΔCBD. Дуга AD делится точкой C на две дуги: AC и CD.
Применим теперь доказательство для первого случая отдельно к углам ΔABD и ΔCBD. Получим:
- ΔABD = 1/2 AD
- ΔCBD = 1/2 CD
Вычитая одно равенство из другого, имеем:
Но дуга AD является суммой дуг AC и CD. Следовательно, выполнено доказательство теоремы и для третьего случая.
Обобщение доказательства для всех случаев
Таким образом, мы полностью доказали справедливость теоремы о вписанном угле для трех возможных случаев взаимного расположения данного угла и центра окружности.
Следствия из теоремы о вписанном угле: Равенство вписанных углов на одну дугу
Если два или более вписанных углов опираются на одну и ту же дугу окружности, то такие углы равны между собой. Это следует из того, что они измеряются одинаковыми величинами — половинами этой дуги.
Прямой угол на диаметр
Любой вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Действительно, такой угол опирается на половину окружности, то есть на 180 градусов. Значит, сам угол равен 180/2 = 90 градусам.
Связь вписанного и центрального углов
Центральным называется угол, вершина которого совпадает с центром окружности. Если центральный и вписанный углы опираются на одну и ту же дугу, то первый вдвое больше второго. Это легко понять, вспомнив, что вписанный угол равен половине своей дуги, а центральный угол как раз этой дуге равен.
Применение теоремы о вписанном угле
В геометрических построениях
Теорема о вписанном угле часто используется в геометрических построениях. Например, если требуется построить угол в 45 градусов, достаточно в окружности выделить дугу в 90 градусов и построить на нее вписанный угол.
При решении геометрических задач
Знание теоремы помогает при решении многих задач на вычисление градусной меры углов, связанных с окружностью. Если задан вписанный угол и известна опирающаяся на него дуга, можно легко найти искомый угол.
В доказательствах других утверждений
Теорема о вписанном угле служит основой при доказательстве многих последующих утверждений в геометрии. Например, teorema o vpisannom ugle dokazatel'stvo 3 sluchaya используется при выводе теоремы о произведении отрезков пересекающихся хорд.
Примеры применения
Рассмотрим несколько конкретных примеров, где без теоремы не обойтись:
- Вычисление углов вписанного четырехугольника
- Нахождение радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника
- Доказательство равенства касательных, проведенных из одной точки
Во всех этих случаях ключевым моментом является применение рассматриваемой нами теоремы о связи вписанного угла и дуги окружности.
Открытые вопросы и вызовы
Несмотря на кажущуюся простоту, теорема о вписанном угле до сих пор таит в себе интересные загадки. Например, возможно ли аналогичное утверждение сформулировать для сферы или других кривых в пространстве?
Остается открытым вопрос: является ли предложенное в статье доказательство теоремы о вписанном угле наиболее простым и естественным? Или существуют и другие способы обоснования этого факта?
Для закрепления материала предлагаем читателям самостоятельно доказать несколько вспомогательных утверждений о вписанных углах. А также придумать и решить нестандартную задачу, использующую данную теорему.
