Математика кажется сложной наукой, но на самом деле основные понятия можно объяснить простым языком. Давайте разберемся, что такое предел функции, когда переменная стремится к бесконечности, и посмотрим несколько примеров. Это поможет лучше понять одно из важнейших понятий математического анализа.
Что такое предел функции
Предел функции - это значение, к которому функция стремится при определенном поведении ее аргумента. Например, если мы берем все бОльшие значения аргумента x, то говорим, что x стремится к бесконечности. И интересует нас вопрос - а к какому значению при этом будет стремиться сама функция f(x)? Это значение и называется ее пределом.
На языке математики запись выглядит так:
limx->∞ f(x) = L
Это читается как "предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности равен L". То есть L - это искомое значение, к которому функция стремится.
Предел функции при определенном поведении аргумента - это значение, к которому функция стремится, но никогда не достигает.
Давайте посмотрим на графическую интерпретацию. На рисунке показана кривая некоторой функции. Когда значение x растет, функция стремится к значению 2. Значит, ее предел равен 2: limx->∞ f(x) = 2.
Предел при стремлении аргумента к бесконечности
Итак, давайте разберемся, что конкретно значит выражение "x стремится к бесконечности". Это означает, что мы берем последовательность все больших значений x:
- x = 100
- x = 1000
- x = 10000
- ...
То есть значение x неограниченно возрастает. И нас интересует, к какому числу при этом будет стремиться значение функции f(x).
Как вычислить lim x->∞ f(x)
Чтобы вычислить предел функции при стремлении аргумента к бесконечности, нужно:
- Подставить в формулу функции вместо x бесконечно большое число.
- Упростить получившееся выражение.
- Найти числовое значение, к которому стремится функция.
Рассмотрим конкретный пример:
Найдем Lim при x стремящемся к бесконечности (1 + 3/x)2x
Подставляем в функцию вместо x бесконечность ∞. Получаем выражение (1 + 3/∞)2∞. Далее применяем правила: 3/∞ = 0, тогда в скобках получаем 1. И 1 в степени любое число всегда дает 1.
Ответ: Limx->∞ (1 + 3/x)2x = 1
Основные типы неопределенностей
При вычислении пределов функций при x, стремящемся к бесконечности, часто возникают так называемые неопределенности. Это такие выражения, которые математически не имеют смысла или не могут быть вычислены.
Рассмотрим два основных типа неопределенностей:
- 0 / 0
- ∞ / ∞
Чтобы избавиться от них, нужно применить специальные приемы.
Неопределенность типа ∞ / ∞
Этот тип неопределенности возникает, когда в результате подстановки бесконечности в функцию, мы получаем бесконечность как в числителе, так и в знаменателе дроби. Например:
Чтобы решить такую неопределенность, нужно разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x. После сокращения ответ получится конечным числом.
Неопределенность типа 0 / 0
Эта неопределенность возникает, когда в результате подстановки бесконечности в функцию, мы получили ноль как в числителе, так и в знаменателе дроби.
Приемы решения неопределенностей
Рассмотрим основные методы, которые позволяют избавиться от неопределенностей в пределах:
- Разложение на множители
- Применение правила Лопиталя
- Использование замечательных пределов
Давайте разберем каждый из этих способов подробнее.
Применение правила Лопиталя
Один из самых элегантных способов избавления от неопределенности 0/0 или ∞/∞ - это правило Лопиталя. Суть его заключается в следующем:
Если в пределе функции при x->∞ возникает неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то вычисляются производные числителя и знаменателя, после чего снова находится предел.
Формальная запись:
Где f(x) и g(x) - исходные функции в числителе и знаменателе, f'(x) и g'(x) - их производные. Давайте разберем пример применения этого правила для решения неопределенности.
Замечательные пределы
Помимо основных приемов, с неопределенностями помогают справиться так называемые замечательные пределы. Это пределы некоторых элементарных функций, которые часто встречаются на практике.
Вот некоторые из них:
Зная эти соотношения, мы можем упростить вычисление многих пределов. Рассмотрим пример.
Примеры решения неопределенностей в пределах
Давайте теперь разберем несколько конкретных примеров с неопределенностями и посмотрим, как их можно решить:
- Разложение на множители
- Применение правила Лопиталя
- Использование замечательных пределов
Анализируя разные ситуации, мы на практике изучим все основные приемы. Это поможет в дальнейшем самостоятельно решать подобные задачи с неопределенностями.
lim x стремится к бесконечности решать на практике
Итак, мы разобрали основные ситуации, которые могут возникнуть при вычислении пределов функций при стремлении аргумента к бесконечности. В заключение давайте решим несколько практических задач с использованием всех рассмотренных нами ранее приемов и методов. Это позволит закрепить полученные знания.
