Геометрия - увлекательная наука, позволяющая решать множество практических задач. Знание формул для вычисления площадей различных фигур пригодится студентам, инженерам, архитекторам и другим специалистам.
Базовые понятия и определения
Площадь фигуры - это численная характеристика, показывающая размер данной фигуры, ограниченной замкнутым контуром. Выражается площадь в квадратных единицах, например квадратных метрах или квадратных сантиметрах.
Площадь плоской фигуры равна числу квадратных единиц длины (например, квадратных сантиметров), которые можно на ней разместить.
Для нахождения площади используются специальные формулы, отличающиеся для разных фигур. Рассмотрим формулы для основных фигур.
Площади основных фигур
Квадрат
Если сторона квадрата равна a, то площадь квадрата S рассчитывается по формуле:
S = a2
Например, если сторона квадрата равна 5 см, его площадь равна:
S = 52 = 25 кв.см
Прямоугольник
Пусть длина прямоугольника равна a, а ширина равна b. Тогда площадь прямоугольника S вычисляется по формуле:
S = a × b
Например, для прямоугольника со сторонами 3 см и 5 см площадь равна:
S = 3 × 5 = 15 кв.см
Параллелограмм
Площадь параллелограмма S можно найти двумя способами:
- S = ah, где a - длина стороны, h - высота, проведенная к этой стороне
- S = ab sin α, где a и b - длины сторон, α - угол между сторонами
Рассмотрим параллелограмм со сторонами 5 см и 7 см, угол между сторонами 60°. Его площадь равна:
S = 5 × 7 × sin 60° = 17,5 кв.см
Ромб
Площадь ромба S вычисляется по формулам:
- S = (d1 × d2) / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба
- S = a2 × sin α, где a - сторона ромба, α - угол ромба
Для ромба со стороной 4 см и углом 60° площадь равна:
S = 42 × sin 60° = 8 кв.см
Треугольник
Площадь треугольника также можно найти несколькими способами, используя:
- длину стороны и высоту к ней
- длины всех трех сторон
- радиус вписанной и описанной окружностей
Подробно формулы разберем в следующем разделе.
Треугольник
Рассмотрим подробнее формулы для вычисления площади треугольника.
- S = (ab × sinγ) / 2, где a и b - стороны треугольника, γ - угол между ними
- S = ah / 2, где a - основание, h - высота к этому основанию
- Формула Герона: , где p - полупериметр треугольника
Например, для треугольника со сторонами 5 см, 7 см и 8 см площадь равна:
S = √(5+7+8) / 2 × (5+7+8) / 2 × (5+7−8) / 2 × (7+8−5) / 2 = 17,5 кв.см
Площади подобных фигур
Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но отличаются размерами. Между площадями подобных фигур существует прямая зависимость.
Если коэффициент подобия равен k, то:
- Площадь большей фигуры в k2 раз больше площади меньшей
- Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: S1 / S2 = k2
Эти свойства площадей подобных фигур широко используются при решении геометрических задач.
Площадь круга и кругового сектора
Все площади фигур ограниченных линиями можно вычислить с помощью формул. Для круга используется формула:
S = πR2
где R - радиус круга. Число π ≈ 3,14.
Все площади фигур ограниченных линиями можно разбить для упрощения вычислений. Например, часть круга называется круговым сектором. Его площадь равна:
Sсектора = (πR2 / 360°) × α
где α - центральный угол сектора в градусах.
Вычисление площади сложной фигуры
Чтобы найти площадь фигуры ограниченной линиями, ее можно разбить на несколько простых частей, вычислить площадь каждой части и сложить полученные значения.
На рисунке фигура разбита на 3 треугольника и одну трапецию, указаны площади этих частей в квадратных сантиметрах. Площадь фигуры ограниченной линиями равна их сумме:
S = 10 + 3,5 + 1,5 + 3 = 18 (кв.см)
Для вычисления все площади фигур ограниченных линиями на координатной плоскости используется формула Пика:
S = i + b/2 - 1
Здесь i - число целочисленных точек, лежащих внутри контура фигуры, b - число целочисленных точек, лежащих на самом контуре.
Площади многоугольников
Для выпуклых многоугольников площадь также вычисляется как сумма площадей треугольников, на которые можно разбить многоугольник.
На рисунке показан выпуклый четырехугольник ABCD. Его можно разбить на два треугольника ABD и BCD, вычислить площади треугольников и сложить:
SABCD = SABD + SBCD
Объемные фигуры
Помимо плоских фигур в геометрии рассматриваются объемные фигуры: куб, цилиндр, шар и др. У них вычисляется не площадь поверхности, а объем.
Объем куба со стороной a равен:
V = a3
Объем цилиндра с радиусом основания R и высотой h:
V = πR2h
Объем шара радиуса R:
V = (4/3)πR3
все применения формул площадей
Формулы площадей применяются в строительстве, архитектуре, промышленности и многих других областях.
Например, для расчета необходимого количества плитки или краски требуется знать площадь поверхности. Или при проектировании здания важно рассчитать площади различных помещений и этажей.
Таким образом, умение быстро и точно вычислять все площади фигур - важный навык для многих специалистов.
Практические задачи на вычисление площадей
Рассмотрим несколько практических задач на вычисление площадей различных фигур.
-
Дан прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Найти его площадь.
Решение: По формуле площади прямоугольного треугольника S=1/2ab получаем: S=1/2*3*4=6 (кв.см)
-
Сторона квадрата равна 5 дм. Вычислить его площадь.
Решение: По формуле площади квадрата S=a^2, где а - сторона квадрата: S=5^2=25 (кв.дм)
-
Дан ромб с диагоналями 12 см и 16 см. Найти площадь ромба.
Решение: По формуле площади ромба S=(d1*d2)/2 получаем: S=(12*16)/2=96 (кв.см)
Задачи с подобными фигурами
Подобные фигуры часто встречаются в геометрических задачах. Рассмотрим примеры.
Даны два подобных треугольника. Первый имеет стороны 3 см, 4 см и 5 см. Второй получен из первого увеличением в 3 раза. Найти площадь большего треугольника.
Решение: Площадь меньшего треугольника по формуле Герона равна 6 кв.см. Так как коэффициент подобия равен 3, площадь большего треугольника в 3^2=9 раз больше, то есть равна 54 кв.см.
Задачи на разбиение фигуры
Рассмотрим задачу, в которой для вычисления площади сложной фигуры ее нужно разбить на более простые части.
На рисунке изображена фигура, состоящая из трапеции и треугольника. Требуется найти ее площадь.
Решение: Разобьем фигуру на трапецию со сторонами 7, 5, 10 и диагональю 12 и треугольник с основанием 5 и высотой 6. Площадь трапеции равна 32 кв.ед., площадь треугольника 15 кв.ед. Полная площадь фигуры равна их сумме: 32 + 15 = 47 кв.ед.
Помимо плоских фигур важно уметь вычислять объемы различных тел, в частности тел вращения - цилиндра, конуса, шара.
